Matematické Fórum

simonaj1

přeji dobrý den, snažím se přijít na výpočet integrálů a zasekla jsem se u substituční metody, nějak mi nejde nahrazovat dx, tudíž nejde mi diferencovat, vůbec netuším jak se to dělá?

takže např. $\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}$ mám substituci $x=asint$ a diferencuji $dx=acostdt$ , hezký zápis, jen vůbec netuším jak vznikl:-( , že by to byla derivace toho dosazeného x?

kaja(z_hajovny)

vyjdu ze vztahu x=a*sin(t)

levou stranu derivuju podle x a vynasobim vyrazem dx. Protoze (x)'=1, dostanu 1*dx tj dx

pravou stranu derivuju podle t a pripisu dt. Dostanu a*cos(t)*dt

protoze (a*sin(t))'=a*cos(t) ... carka je derivace podle t

Olin · 27. 07. 2009 11:52 — Editoval Olin (27. 07. 2009 11:53)

Můj postup, jak na to přijít (to pravidlo si nepamatuju):

$x = a \sin t$
před obě strany připíšu "déčko"
$\mathrm{d} x = \mathrm{d} a \sin t$
obě strany "podělím" dt
$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} a \sin t}{\mathrm{d} t}$
pravá strana je běžná derivace podle t, takže upravím:
$\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = a \cos t$
"vynásobím" dt:
$\mathrm{d} x = \mathrm{d} t \cdot a \cos t$

lukaszh · 27. 07. 2009 12:04

Alebo chápeme x ako funkciu premennej t

kaja(z_hajovny) · 27. 07. 2009 13:13

anebo si pamatuju, ze pokud je substituce
$f(x)=g(t)$
tak vztah mezi diferencialy je $f'(x)dx=g'(t)dt$

jelena · 27. 07. 2009 17:15 — Editoval jelena (27. 07. 2009 18:43)

Uniká mi sice účelnost takové substituce pro integrál uvedený v příspěvku Simony ↑ simonaj1:, ale tvurčí potenciál autorů je obdivuhodný - kam se hrabe sbírka překladu Morgensternových basni.

Mohli byste alespoň část potenciálu věnovat tomuto tématu: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=10099 včetně odkazu v posledním příspěvku? Děkuji a zdravím vás :-)

----------
Ich ging ganz in Gedanken hin...

Chrpa · 27. 07. 2009 19:40

↑ simonaj1:
$\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}$ toto je "tabulkový" integrál platí:
$\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}=\arcsin\,\frac{x}{a}+C$

jelena · 27. 07. 2009 20:09

↑ Chrpa:

Zdravím a děkuji za doplnění :-)

měla jsem na mysli, že tabulkový je $\int{\frac{\mathrm{dx}}{\sqrt{1-x^2}}}$

proto bych v zadání vytkla a^2 a pouzila substituci x/a=t.

Simona určitě má velkou sbírku integrálů, ve kterých substituce od vážených kolegů bude užitečná.

Ať se všem daří :-)

simonaj1 · 27. 07. 2009 21:07

↑ jelena: je to příklad, na kterém je vysvětlována substituce podle pravidla $x=g(t)$ a $\int{f(x)dx}=\int{f(g(t))g'(t)dt}$ no jako vzorový příklad použili $\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}$ substituce $x=asint$ , $dx=acostdt$ + inverzní fce pro g(t) $t={arcsin}{\frac{x}{a}}$ no a pokračovali $\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-a^2sin^2t}}}{acostdt}=\int{\frac{costdt}{\sqrt{1-sin^2t}}}=\int{\frac{costdt}{cost}}=\int{1dt}=t$ pak dosadit za t inverzní fci a výsledek je na světě ${arcsin}{\frac{x}{a}}+C$

jelena · 27. 07. 2009 22:17

↑ simonaj1:

Zdravím a dekuji za vysvetleni,

rozumím jak postupu, tak výsledku - jen jak jsem napsala, že tato substituce mi nepřišla účelná pro zadaný integral.

Ovšem, pokud v materiálech je to uvedeno jako alternativní nebo ukazkové řešení (nebo z jiného metodického hlediska podstatné) řešení, tak nic nenamitám k samotné substituci.

Doufám tedy, že v materiálech je uvedeno i zdůvodnění, za jakých okolnosti můžeme odmocňovat v jmenovateli cos^2(x) a rovnou mit cos(x), ne jeho absolutni hodnotu.

Dalsim motivujicim duvodem meho prispevku byla zde predvedena kreativita kolegu a take pokus o upozorneni na nase tema v tematech SŠ.

u_peg · 27. 07. 2009 23:13

↑ jelena:
Mne teda jasne nie je preco tam chyba absolutna hosnota pri funkcii cos v menovateli :/

Marian · 28. 07. 2009 00:13

↑ u_peg:
Je to jeden z klasických nešvarů, které se stávají u úprav goniometrickýc výrazů. Bohužel mě to netěší, ale je mi jasné, že se na to zapomnělo.

Mám pocit, že tak fantastická funkce, jakou je absolutní hodnota, si zaslouží větší pozornost. Ale to už se na mě asi snese snůška neblahých slov ostatních uživatelů fóra, takže s kritikou končím ...
:-)

Rumburak

↑ u_peg:, ↑ Marian:
Je možné i to, že v originále řešení vzorového příkladu je uvedeno, že substituce x = a sin t se provádí při $t \in (- \frac {\pi}{2}, \frac {\pi}{2})$ , takže cos t > 0 ,
z tvaru inversní funkce $t={arcsin}{\frac{x}{a}}$ citovaného Simonou tato podmínka i vyplývá.
Problém s absolutní hodnotou však zůstává v použité úpravě " $\sqrt{a^2} = a$ ". Obecně správná substituce měla být $x=|a|\sin t$ , výsledek $\arcsin \frac {x}{|a|} + C$ .
Nicméně musím souhlasit, že mechanické odmocňování rovnosti $\cos^2 c = 1 - \sin^2 c$ bez úvah o znaménku fce cos je příliš rozšířeným nešvarem.

jelena · 28. 07. 2009 10:46

↑ Rumburak:

Zdravím a děkuji za doplnění :-)

Prave, když jsem viděla návrhy od kolegů, tak jsem si řikala - ža taková substituce bude vyžadovat celé povídání o podmínce spojene s inverzní funkci k funkci sin atd. - proto jsem doufala, že ve studijním materiálu to je vše uvedeno. Proto moje reakce ↑ jelena:.

Také moc děkuji za tuto laskavou reakci- ale opravdu z více důvodu bych si troufat neměla.

A už se někdo realizujte také tady: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=10099 zejména, když je absolutní hodnota je tak fantastická. Opravdu moc děkuji :-)

Rumburak · 28. 07. 2009 10:59

↑ jelena: Ano, už jsem se zarealisoval i tam :-) . Zdravím srdečně rovněž.

Matematické Fórum

#1 27. 07. 2009 11:35 — Editoval simonaj1 (27. 07. 2009 11:40)

diferencovani

#2 27. 07. 2009 11:41 — Editoval kaja(z_hajovny) (27. 07. 2009 11:42)

Re: diferencovani

#3 27. 07. 2009 11:52 — Editoval Olin (27. 07. 2009 11:53)

Re: diferencovani

#4 27. 07. 2009 12:04

Re: diferencovani

#5 27. 07. 2009 13:13

Re: diferencovani

#6 27. 07. 2009 17:15 — Editoval jelena (27. 07. 2009 18:43)

Re: diferencovani

#7 27. 07. 2009 19:40

Re: diferencovani

#8 27. 07. 2009 20:09

Re: diferencovani

#9 27. 07. 2009 21:07

Re: diferencovani

#10 27. 07. 2009 22:17

Re: diferencovani

#11 27. 07. 2009 23:13

Re: diferencovani

#12 28. 07. 2009 00:13

Re: diferencovani

#13 28. 07. 2009 09:51 — Editoval Rumburak (28. 07. 2009 11:25)

Re: diferencovani

#14 28. 07. 2009 10:46

Re: diferencovani

#15 28. 07. 2009 10:59

Re: diferencovani

Zápatí