Matematické Fórum

↑↑ kastanek:

Zdá se, že se pomalu blížím, ale jestli to bude jednodušší než to, co máš, to bych si nebyl úplně jist...

↑ Eratosthenes:
Tvoje nesprávné dedukce, kterými odvozuješ neschopnosrt jiných, mě udivují. Každopádně jsou chybné, tedy bys je měl použít spíš na sebe.

A nebo opravdu vyjádřit analyticky kružnici s obvodovým úhlem nad danou úsečkou.... A kopírovat postup konstrukce.

↑↑ kastanek:

Změnil jsem souřadnicovou soustavu a vypadá to trochu líp. Pro parametr bodu A mi vychází rovnice sice asi ne moc hezká, ale jenom kvadratická (což vypadá dobře, protože ty body jsou tam obecně dva).



Patří tam samozřejmě [mathjax]A\in p\cap k[/mathjax]

A pokud budu mít bod A, zbytek by neměl být problém...

Klíčová myšlenka je úhel nevyjadřovat pomocí sinů a kosinů (tangens už vůbec pro nepoužitelnost u pravého úhlu), nýbrž pomocí kotangens, hodně se to zjednoduší:
[mathjax]\cot\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=\frac{\frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}}{\frac{2S}{bc}}=\frac{-a^2+b^2+c^2}{4S}=\frac{-a^2+b^2+c^2}{2av_a}[/mathjax]
Dále platí:
[mathjax]S=\frac{av_a}{2}=\frac{1}{4}\sqrt{4b^2c^2-(-a^2+b^2+c^2)^2}[/mathjax]
Spolu se vzorcem pro délku těžnice máme soustavu:

[mathjax]2av_a\cot\alpha=-a^2+b^2+c^2[/mathjax]
[mathjax]4a^2{v_a}^2=4b^2c^2-(-a^2+b^2+c^2)^2[/mathjax]
[mathjax]4{t_b}^2=2a^2-b^2+2c^2[/mathjax]

Kdyby se použila místo kotangens kosinová věta, vznikly by tam neumocněné délky b a c, což by to hodně zkomplikovalo. Takto se snadno eliminují členy [mathjax]b^2[/mathjax] a [mathjax]c^2[/mathjax]:

[mathjax]4\cdot a^4-4v_a\cot\alpha\cdot a^3-20{t_b}^2\cdot a^2+{v_a}^2\cot^2\alpha\cdot a^2+9{v_a}^2\cdot a^2-8v_a{t_b}^2\cot\alpha\cdot a+16{t_b}^4=0[/mathjax]

To je sice kvartická rovnice, ale protože je úloha eukleidovsky konstruovatelná, musí to jít rozložit na dvě kvadratické s koeficienty přinejhorším s druhými odmocninami. Tohle je nejtěžší, ale taky nejhezčí část: přerovnám členy, páč v tom začínám vidět (trochu kecám) vzorec [mathjax]A^2-B^2[/mathjax]:

[mathjax]\left(4\cdot a^4-4v_a\cot\alpha\cdot a^3+16{t_b}^2\cdot a^2+{v_a}^2\cot^2\alpha\cdot a^2-8v_a{t_b}^2\cot\alpha\cdot a+16{t_b}^4\right)-9\left(4{t_b}^2-{v_a}^2\right)\cdot a^2=0[/mathjax]

Z toho pak:

[mathjax]\left( 2\cdot a^2-v_a\cot\alpha\cdot a+4{t_b}^2 \right)^2-9\left(4{t_b}^2-{v_a}^2\right)\cdot a^2=0[/mathjax]

Teď už jen vzorec [mathjax]A^2-B^2=(A-B)(A+B)[/mathjax]:

[mathjax]\left( 2\cdot a^2-\left(v_a\cot\alpha + 3\sqrt{4{t_b}^2-{v_a}^2}\right)\cdot a+4{t_b}^2 \right)\left( 2\cdot a^2-\left(v_a\cot\alpha - 3\sqrt{4{t_b}^2-{v_a}^2}\right)\cdot a+4{t_b}^2 \right)=0[/mathjax]

Řešeními první kvadratické rovnice jsou:

[mathjax]a_{1,2}=\frac{1}{4}\left( v_a\cot\alpha + 3\sqrt{4{t_b}^2-{v_a}^2} \pm \sqrt{\left(v_a\cot\alpha + 3\sqrt{4{t_b}^2-{v_a}^2}) \right)^2-32{t_b}^2}  \right)[/mathjax]

A pokud má úloha čtyři řešení, tak:

[mathjax]a_{3,4}=\frac{1}{4}\left( v_a\cot\alpha - 3\sqrt{4{t_b}^2-{v_a}^2} \pm \sqrt{\left(v_a\cot\alpha - 3\sqrt{4{t_b}^2-{v_a}^2}) \right)^2-32{t_b}^2}  \right)[/mathjax]

Z toho plynou i podmínky řešitelnosti (výrazy pod odmocninami):

[mathjax]\left(v_a\cot\alpha + 3\sqrt{4{t_b}^2-{v_a}^2}) \right)^2-32{t_b}^2\ge 0[/mathjax]

A více než dvě řešení když:

[mathjax]\left(v_a\cot\alpha - 3\sqrt{4{t_b}^2-{v_a}^2}) \right)^2-32{t_b}^2\ge 0[/mathjax]

Teď, když je známé řešení, by bylo zajímavé (a snazší) najít i geometrickou interpretaci. Ve vzorci je vidět Pythagorova věta (ta odmocnina) a tedy pravoúhlý trojúhelník, ale v Eratosthenově obrázku vidím jen [mathjax]\frac{3}{4}\sqrt{4{t_b}^2-{v_a}^2}[/mathjax]. Délku [mathjax]v_a\cot\alpha[/mathjax] tam smysluplně nevidím, ani [mathjax]4\sqrt{2}\,t_b[/mathjax]...

↑ surovec:

:-) Taky pěkná katedrála...

[mathjax]k=\frac{v_{a}}{4}(3\sqrt{(\frac{2t_{b}}{v_{a}})^{2}-1}+\text{cotg}\alpha )[/mathjax]

Honzc napsal(a):

↑ kastanek:
Já jsem dospěl k tomuto řešení...

Asi by bylo dobré sem napsat, jak jsi k tomu dospěl. Zda postupem ↑ surovec:, anebo ještě nějak jinak?

↑ Honzc:
To vypadá stejně jako surovcovo (ale chybí ti tam to třetí a čtvrté řešení). Dělal jsi to přes soustavu rovnic, nebo z obrázku?

↑ Eratosthenes:
Pohrdlivě jsem se nevyjádřil, řekl jsem že to bude jen trigonometie případně analaytická geometrie.
A nakonec to tak bylo - spousta práce (o té jsem se pohrdlivě nevyjádřil) a do toho jen pár zajímavých bodů (tím je nesnižuju, jen říkám že to bylo hlavně o počítání) - úprava kvartické rovnice na kvadatické, volba vhodné soustavy.

↑ surovec:

Ajaj - nějak jsem si nevšiml, že jsem přejmenoval výšku. Svoje "třetí řešení" beru zpět. 

>> Je potřeba volit délku těžnice těsně přes polovinu výšky (třeba va = 10 a tb = 5,05) a alphu pak hodně malou (pro čtyři řešení nemůže být nikdy větší či rovna[mathjax]\arcsin\frac{1}{3}[/mathjax])třeba 10°.

Já už jsem měl i 0.1 stupňů a nic :-) Ten malý rozdíl 2tb - va mě nějak nenapadl, i když měl - téměř se jím zlikviduje ta odečítaná odmocnina... 

Moc pěkné.

↑ Eratosthenes:
Jájsem to řešil Takto
0pravdu můžou být až 4 řešení