Matematické Fórum

↑ Dreambreaker:
Pokud jde jen o vytvoření nějakého kolmého vektoru, tak to je jedno. Pokud se má tento vektor nějak dál použít, je třeba zvážit, zda ho použít přímo, nebo použít jeho opačný vektor. Např. úloha: Je dán bod A = [3; 1], vektor AB = (5; 6), určete souřadnice vrcholů B, C, D čtverce ABCD. Mluvíme zde o situaci v dvourozměrném prostoru.

↑ Dreambreaker:
Důležité je definovat, co znamená, "že je něco jedno".
Pokud ti jde o převedení obecné rovnice přímky na parametrickou, tak to jedno je. Protože parametrická rovnice přímky není jednoznačná - více rovnic dává tu samou přímku.
Pokud jde o úhel dvou vektorů, tak to jedno být nemusí - což nejlépe pochopíš, když si to namaluješ. Nebo se jen zamyslíš nad tím, co je "úhel dvou přímek". Protože když se protínají dvě přímky, tak tam ty úhly jsou dva, větší a menší. A je víceméně jen věcí dohody, který z nich považujeme za "úhel dvou přímek".

↑ Dreambreaker:
V tomto případě to je jedno, odchylka vektorů je v obou případech 90° a vyjde tak i dosazením do vzorce.

↑ Dreambreaker:

Ale o aké uhly ti ide?

Normálový vektor so smerovým zvierajú z definície 90°, sú navzájom kolmé.

Smerové vektory priamky majú tú vlastnosť, že sa dajú  na tú "svoju" priamku položiť. Je ich nekonečne veľa a líšia sa svojou dĺžkou (veľkosťou). Začiatočný a koncový bod vektora po umiestnení vektora na priamku patria obidva tej priamke...

Tak o ktorých uhloch sa teda bavíš?

Skalárny súčin dvoch navzájom kolmých vektorov (normálového a smerového tej istej priamky) je 0.

↑ Dreambreaker:

Uhol medzi smerovými vektormi tej istej priamky?

Prostě se smiř s tím, že úloha je nejednoznačná.
Pokud dva normálové vektory dvou přímek svírají nějaký úhel, tak tečné vektory těch přímek ten úhel svírat nemusejí, mohou svírat "ten druhý" úhel.
A naopak to platí taky - i normálové vektory můžeš otočit.

U přímek nelze nijak rozlišit, jestli spolu svírají "ten menší" nebo "ten větší" úhel. Vždycky jsou tam oba dva.
U vektorů se to rozlišit dá.

Dobře, děkuji.

↑ Dreambreaker:
Pokud se přímky protínají, tak svírají spolu ostrý a tupý úhel (když nejsou na sebe kolmé).
Za úhel přímek se bere ten ostrý úhel, proto počítáme skalární součin v absolutní hodnotě.
Můžeme počítat úhel směrových i úhel normálových vektorů, skalární součin dáme do absolutní hodnoty, aby vyšel kosinus kladný.
cosinus úhlů vektorů je skalární součin lomeno součin velikostí.

↑ Dreambreaker:
Nejjednodušší bude, když si ty dvě přímky zkusíš nakreslit (když si to teda nedokážeš představit) a označit si tam ty úhly.

Jiny pohled na vec:

Transformace z [mathjax](4,3)[/mathjax] na [mathjax](-3,4)[/mathjax] odpovida matici [mathjax]\left(\begin{matrix}0&-1\\1&0\end{matrix}\right)[/mathjax],
protoze
[mathjax]\left(\begin{matrix}0&-1\\1&0\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\4\end{matrix}\right)[/mathjax].
Druha moznost, tj. z [mathjax](4,3)[/mathjax] na [mathjax](3,-4)[/mathjax] odpovida matici [mathjax]\left(\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\right)[/mathjax].

Snadno uz jiste sam nahlednes, ze prvni pripad odpovida obecne matici otoceni
[mathjax]\left(\begin{matrix}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{matrix}\right)[/mathjax]
pro volbu [mathjax]\alpha=90^{\circ}[/mathjax],
kdezto druha moznost odpovida [mathjax]\alpha=-90^{\circ}[/mathjax] (nebo ekvivalentne  [mathjax]\alpha=270^{\circ}[/mathjax]).

V obou pripadech jde tedy o otoceni o 90°, nejdrive proti smeru hodinovych rucicek (coz ve 2D je beznejsi volba) a potom po smeru h.r.