Matematické Fórum

Pořád ještě přemýšlím o zdejší úloze: pokud vezmu "klasické" úlohy na doplnění úhlů v trojúhelníku (pro ZŠ i SŠ), tak jdou stejným postupem vyřešit pro jakékoliv vstupní údaje. Avšak postup navrhnutý AI a check_drummerem pro tuto úlohu funguje pouze pro tuto konkrétní kombinaci úhlů. Pokud bude úhel ACX 60°, tak už to fungovat nebude (nejsou tam ty shodné trojúhelníky), řešení je přitom také "hezké": [mathjax]\alpha=60°[/mathjax].
Takže co nějaký univerzální postup řešení této úlohy?

Když to teda nechám google přeložit, tak tam stojí, že:

"Čtyřúhelník, jako je BCEF, se nazývá "adventitious quadrangle" pokud jsou úhly mezi jeho úhlopříčkami a stranami racionální, tedy úhly, které dávají racionální čísla měřené ve stupních nebo jiných jednotkách, pro které je celá kružnice racionálním číslem. Kromě Langleyho hlavolamu bylo sestrojeno mnoho"adventitious quadrangle". Tvoří několik nekonečných rodin a další sadu sporadických příkladů.

Klasifikace "adventitious quadrangle" (které nemusí být konvexní) se ukazuje být ekvivalentní klasifikaci všech trojitých průniků úhlopříček v pravidelných mnohoúhelnících. Tento problém vyřešil Gerrit Bol v roce 1936. Ve skutečnosti klasifikoval (i když s několika chybami) všechny vícenásobné průniky úhlopříček v pravidelných mnohoúhelnících. Jeho výsledky (všechny provedené ručně) byly potvrzeny počítačem a chyby opraveny Bjornem Poonenem a Michaelem Rubinsteinem v roce 1998. Článek obsahuje historii problému a obrázek s pravidelným triakontagonem a jeho úhlopříčkami.

V roce 2015 publikovala anonymní Japonka používající pseudonym „aerile re“ první známou metodu (metodu 3 středů kružnic) pro konstrukci důkazu v elementární geometrii pro speciální třídu problému "adventitious quadrangle" Tato práce řeší první ze tří nevyřešených problémů, které Rigby uvedl ve své práci z roku 1978.

↑ check_drummer:
No chtěl bych obecně, tak, jak tomu bývá u "podobných" úloh. Ale vím, že to hezky vychází pro 20° (=10°), 50° (=40°), 60° (=60°).
No, nejspíš to bez sinové či kosinové věty nejde, páč pro jiné úhly to vychází iracionálně...

↑ surovec:
Taky přispěji
Tady je obecný vztah a také výpočet z hlavy pro [mathjax]\varphi =30^\circ [/mathjax]

↑ Honzc:
Vidíš, že umíš vytvořit i přehledný obrázek a i s vysvětlením, ze kterého lze věci pochopit ;-)
Zkouším odvodit i vztah pro ten úhel, jestliže je dán (nekonkrétní) úhel určující rovnoramenný trojúhelník ABC a další dva (nekonkrétní) úhly určující odchylku těch dvou cevián, ale zatím mi z toho vycházejí nepoužitelné hrůzy. Což dost vede k myšlence, že nějaké snadné univerzální řešení obecně zadaného problému typu "kouknu a vidím" není.

surovec, check_drummer
Vztah pro obecný úhel [mathjax]\varphi [/mathjax] a lepší vysvětlení pro [mathjax]\varphi =30^\circ [/mathjax] je Zde

↑ surovec:
Jestli jsi to myslel tak jak je to na obrázku pak Tady je výpočet

↑ Honzc:
Jj, takhle jsem to myslel. Pěkná práce!

↑ Honzc:
Psal jsi někam odvození toho vzoce pro určení [mathjax]\tan \psi[/mathjax]? Nemůžu to najít.

↑ Honzc:
Díky, je nutné tam nasázet dostatečný počet pravoúhlých trojúhelníků.