Matematické Fórum

Protože v poslední době je čím dál tím míň nových příspěvků (úloh) (je to dáno tím, že studenti jsou čím dál chytřejší nebo na matematiku kašlou nebo výuka matematiky na středních školách upadá?), rozhodl jsem se sem dát také jednu úlohu.

Je dán čtverec ABCD o straně a=2 a kružnice se středem S (střed čtverce) a poloměren r taková, že protne každou stranu čtverce ve dvou bodech. Body postupně označme E,F,G,H,I,J,K,L.
Nyní sestrojíme 8-mi úhelník EFGHIJKL a dva shodné čtverce EGIK a FHJL. (viz.Obr)
Otázky: Jaké hodnoty musí nabývat r, aby 8-mi úhelník byl pravidelný. Jaké pak jsou velikosti stran vepsaných čtverců ([mathjax]s_{4}[/mathjax]) a osmiúhelníku ([mathjax]s_{8}[/mathjax]). Zajímavost je v tom, že r,[mathjax]s_{4}[/mathjax] a [mathjax]s_{8}[/mathjax] je třeba vyjádřit pomocí tří dvojek, základních matemetických operací (+,- *,/), případně druhé odmocniny.