Matematické Fórum

↑↑ rimidalv:
Já jsem ti výše ukázal rovnost mezi součtem třetích mocnin, o kterých jsi tvrdil že pro ně harmonie nedosáhneš, jak to vysvětlíš? Znovu sem tu rovnost napíšu:

[mathjax]7^3 + 7^3 + 7^3 + 7^3 + 7^3 + 7^3 + 7^3 + 7^3 + 7^3 + 17^3 = 20^3[/mathjax]

rimidalv napsal(a):

aplikujeme r = (b^2 - a^2}/2,

Proč volíš tento vztah?

1. Proč volím [mathjax]r = {b^2 - a^2}/2 ? (Rozdělení čtverce) Představ si čtverec o obsahu c^2. Diagonála ho dělí na dvě poloviny c^2 /2. Abychom z těchto dvou polovin dostali dva jiné čtverce a^2 a b^2), musíme k jedné polovině r  přičíst a od druhé r odečíst. b^2 = {c^2/2 + r    a^2 = {c^2}/2 - r Z toho jednoduchou úpravou plyne právě r = {b^2 - a^2}/ 2. Toto r je klíčem k transformaci plochy.

2. Co je aritmetická posloupnost 2. řádu?To jsou čtverce celých čísel ([/mathjax]1, 4, 9, 16, 25 \dots$). Jejich druhé diference jsou konstantní (rovny 2). To, že jsou 'obsahy v souladu s posloupností', znamená, že pro určité hodnoty c existuje takové racionální r, které nás 'trefí' přesně do jiných dvou prvků této posloupnosti a^2  a  b^2. U druhé mocniny je tato mřížka díky své hustotě a symetrii čtverce propustná.

3. O podobnost jakých trojúhelníků jde?Jde o trojúhelníky, které vzniknou v grafu rozdělením plochy pod křivkou.U n=2  (čtverec) operujeme s trojúhelníky, jejichž odvěsny jsou v poměru, který odpovídá goniometrickým funkcím racionálních úhlů. Geometrický tvar (podoba) se při změně měřítka nemění.U n=3 se pokoušíš o totéž s obdélníkem o ploše t^3. Aby ses dopracoval k součtu dvou třetích mocnin, musel bys použít  r, které v 2D ploše grafu vždy rozbije podobnost původního útvaru. Výsledné 'trojúhelníky' už nebudou mít stejný sklon (úhel \alpha, což znamená, že jsi opustil model rovnoměrného růstu.

Závěr:Moje 'zajímavost' ukazuje, že sčítání čtverců n=2 je v geometrii roviny přirozená operace dělení celku na dvě podobné části. Jakmile zkusíš totéž u n=3, geometrie (plocha) se vzepře aritmetice (mocnině). Nenajdeš takové  r, které by v 2D ploše grafu vytvořilo dvě třetí mocniny a zároveň zachovalo podobnost a celočíselnost hran. Dvojka je unikátní bod, kde plocha a mocnina mluví stejným jazykem.“

Rád ti to popíšu naprosto přesně a názorně.

Představ si graf rovnoměrně zrychleného pohybu (osa x=cčas t, osa y=rychlost v). Rychlost roste lineárně (v=a⋅t). Výsledným grafickým útvarem je pravoúhlý trojúhelník a plocha pod ním (uražená dráha) je vyjádřena integrálem/plochou tohoto trojúhelníku.

Tento trojúhelník je základem mého obdélníkového modelu (a=t, b=t^n−1).
Jak tu plochu přesně dělím:

Vezměme celkovou plochu tohoto modelu, která reprezentuje hodnotu c^n.
1. Pro n=2 (Svět čtverce)

    Máme čtverec o straně t a ploše c2=t*⋅t=t^2.

    Rozdělení: Úhlopříčka tento čtverec rozdělí na dvě poloviny o obsahu c^2​/2.

    Aplikace filtru (r): K jedné polovině přičtu a od druhé odečtu hodnotu r=(b2−a2)/2​.

    Výsledek: Získám dvě nové plochy (a^2 a b^2). Protože posloupnost druhých mocnin je aritmetická posloupnost 2. řádu, toto r nás v euklidovské mřížce posune přesně do bodů, kde a,b,c jsou celá čísla (Pythagorejské trojice).

    Podobnost: Výsledné trojúhelníky mají stále konstantní sklon (úhel α neboli zrychlení se nemění). Geometrická podoba útvaru se nezlomila.

2. Pro n=3 (Svět obdélníku)

    Máme obdélník o stranách a=t a b=t^2. Jeho celková plocha je c3=t*t^2=t^3.

    Rozdělení: Úhlopříčka tento obdélník opět rozdělí na dvě poloviny o obsahu c^3/2​.

    Pokus o aplikaci filtru (r): Abychom získali dvě třetí mocniny (a^3 a b^3), museli bychom aplikovat r=(b^3−a^3)/2​.

    Rozpad: Jenže posloupnost třetích mocnin je už 3. řádu. V této 2D ploše grafu neexistuje žádné racionální r, které by dokázalo tento obdélník rozdělit na dvě třetí mocniny a zároveň zachovat lineární podobnost stran. Jakmile se o to pokusíš, změní se směrnice (úhel α), což znamená, že výsledné útvary už nejsou podobné původnímu euklidovskému modelu.

Závěr pro tebe:

U n=2 dělím symetrický čtverec – matematika mocnin je v dokonalém souladu s 2D plochou. U n=3 dělím asymetrický obdélník a v 2D grafu se tato operace geometricky zhroutí do iracionálních čísel. Proto Velká Fermatova věta pro n>2 nemá v celých číslech řešení.“

To jsou naprosto legitimní otázky. Přechod od grafu ke čtverci je čistě geometrická záležitost a hodnota c z ní přirozeně vyplývá.

1. Jak přejdu od grafu ke čtverci?V grafu pohybu (v/t) tvoří odvěsny čas t a rychlost v. Pro zjednodušení zvolme jednotkové zrychlení, tedy v = t. V ten moment mají odvěsny v grafu stejnou délku (t a t). Geometrickým útvarem, který definuje celkovou plochu tohoto systému (když trojúhelník pod přímkou doplníme na symetrický celek), je čtverec o straně t. Jeho celková plocha je t^2.

2. Jak definuji hodnotu c?Hodnota c v mém modelu reprezentuje přeponu tohoto pravoúhlého trojúhelníku (diagonálu čtverce).Fermatova (a Pythagorova) rovnice se ptá, zda lze plochu tohoto čtverce (t^2) vyjádřit jako součet dvou menších čtverců s celočíselnými stranami a^2 + b^2. Hodnota c je tedy přímo svázána s proměnnou t.

3. Je hodnota t libovolná, nebo pevně zvolená?Hodnota t je proměnná z oboru celých čísel (\mathbb{Z}). Můj model neplatí jen pro jedno konkrétní číslo, ale pro jakékoliv celočíselné t. U n=2: Protože se pohybujeme ve čtvercové mřížce (2. řád), pro určitá celá čísla t (např. t=5) dokáže filtr r = (b^2 - a^2)/2} rozdělit plochu t^2 na dva menší čtverce (3^2 + 4^2 = 5^2) tak, že všechny strany (a, b, c) zůstanou celočíselnými délkami na našich osách a úhel \alpha (podobnost) se neporuší.U n=3: Zde je  b = t^{n-1} = t^2. Grafickým útvarem už není čtverec, ale obdélník o stranách t a t^2. Jeho plocha je t^3. Pokud zvolíš jakékoliv celočíselné t, neexistuje v 2D rovině grafu žádné racionální r, které by tento obdélník rozdělilo na dvě třetí mocniny a zachovalo celočíselnost hran i podobnost útvarů.

Shrnutí:Hodnota t je libovolné celé číslo a c  je strana (přepona) výsledného invariantního útvaru. Můj model ukazuje, že pouze kvadratický euklidovský prostor (n=2) umožňuje, aby se proměnná t v grafu potkala s celočíselným řešením rovnice. U vyšších n se tato vazba trhá.

Máš pravdu, zjednodušil jsem to až moc a vzniklo nedorozumění. Samozřejmě nechceme rozdělovat obdélník na třetí mocniny. Nechme stranou nepřesné obraty a pojďme k exaktní geometrické interpretaci toho, co ten model dělá.

1. Jak přesně dělím tu plochu?Plochu grafu (která má velikost t^3 a reprezentuje celkovou hodnotu c^3) dělím úhlopříčkou na dvě poloviny. K jedné polovině přičítám a od druhé odečítám hodnotu r = (b^3 - a^3)/2.Tímto rozdělením plochy získávám dvě nové dílčí plochy (S_1 a S_2) S_1 = c^3 /2 - r = a^3   S_2 = c^3 / 2  + r = b^3 Otázka Velké Fermatovy věty v mém modelu zní: Mohou tyto dvě dílčí plochy (S_1, S_2) mít velikost, která odpovídá třetím mocninám celých čísel a a b?

2. O podobnost jakých útvarů se jedná?Jedná se o pravoúhlé trojúhelníky v grafu, které tyto plochy ohraničují.U n=2 (Čtverec o ploše t^2): Když plochu rozdělím pomocí r = (b^2-a^2) /2, výsledné hodnoty a^2 a b^2 odpovídají čtvercům nad odvěsnami pravoúhlého trojúhelníku. Tento trojúhelník si při změně velikosti (měřítka t) zachovává konstantní úhel alpha. To je ta podobnost útvarů. Geometrická struktura prostoru (2D mřížka) se nedeformuje.U n=3 (Obdélník o ploše t^3): Třetí mocnina vyžaduje k vyjádření objemu tři rozměry. My se ji ale pokoušíme reprezentovat v 2D grafu pohybu pomocí plochy. Pokud bychom chtěli najít takové r, aby plochy S_1 a [mathjax]S_2 byly celočíselnými třetími mocninami, vazba podobnosti se rozpadne. Úhel alpha (směrnice zrychlení) by se musel v mřížce pro každé [/mathjax]t$ měnit a lámat do iracionálních hodnot.

Závěr:Fermatova věta pro n=3 v mém modelu naráží na rozměrovou bariéru. Snažíme se v euklidovské rovině (2D) algebraicky pracovat s třetí mocninou (3D), ale geometrický filtr pravoúhlého trojúhelníku v grafu to nedovolí.Buď ztratíš celočíselnost hran (a, b, c budou iracionální odmocniny), nebo ztratíš podobnost útvarů v grafu. Pouze u n=2 jsou algebraický stupeň rovnice a dimenze plochy grafu v dokonalém souladu, který umožňuje celočíselná řešení.

↑ rimidalv:
K těm podobným útvarům - já tam zatím vidím jen jeden trojúhelník - s odvěsnami c,c, kde jsou ty další? To jsou trojúhelníky s odvěsnami a,a a b,b?

↑ rimidalv:
Takže počet částí, na které původní útvar dělíš, souvisí Fermatovou větou (kde jsou dva sčítance). Tedy pro n=3 to neznamená že by v rovině nebylo možné nějak zachytit vztahy trojrozměrných útvarů (ty podobnosti) - když si vybereš dva, nejde to, když si jich vybereš 10 (jako já), tak to jde.

To, že pro n=3 konstrukce není možná, to je důsledek Fermatovy věty. Pokud by ses naopak pokusil Fermatovu větu dokázat pomocí té konstrukce, musel bys to formulovat přesněji - např. to, že neexistují ty dva podobné trojúhelníky, ze kterých ten větší sestavíš, to bys musel dokázat. Tvrdit že rovina neumožnuje trojrozměrné manipulace, apod. je nedostatečné, není to žádné matematické tvrzení.

Tvůj komentář trefuje hřebíček na hlavičku. Máš naprostou pravdu v tom, že pouhé tvrzení 'obdélníky si nejsou podobné' k důkazu nestačí. Stejně tak souhlasím, že sčítáním deseti prvků (jako v tvém příkladu s devíti sedmičkami) celočíselné shody dosáhnout lze.Můj model se ale nepokouší Fermatovu větu dokazovat 'pocity' z obrázků. Pokouší se ukázat, že algebraická struktura binárního filtru ([mathjax]r[/mathjax]) je u vyšších mocnin v přímém rozporu s geometrickou mřížkou euklidovské roviny.Pojďme ten argument zformulovat exaktně, jak požaduješ:

1. Podstata binárního filtru a proč 10 částí funguje Fermatova věta se ptá na existenci řešení pro dva sčítance (a^n + b^n = c^n). Geometricky to znamená, že celek dělíme na dvě části.Pokud u n=3 aplikujeme toto binární dělení na celkovou plochu grafu c^3, matematicky hledáme dělící filtr:r = (b^3 - a^3)/ 2}.Tvůj příklad s deseti sčítanci (9 * 7^3 + 17^3 = 20^3) funguje právě proto, že rozsekáním plochy na více částí obcházíš podmínku binárního filtru r. Více sčítanců dává systému víc 'stupňů volnosti' v celočíselné mřížce. Ale Fermatova rovnice nám dává stupně volnosti pouze dva.

2. Matematický argument: Proč nepodobnost u n=3 implikuje neexistenci řešení?Říkáš, že musím dokázat, proč by pro celočíselné c, c^2 neměly existovat celočíselné a, a^2 a b, b^2. To zdůvodnění leží v lineární závislosti směrnic (úhlů alpha) v 2D grafu:

V grafu závislosti rychlosti na čase (v/t) je směrnice přímky (zrychlení) definována jako poměr odvěsen (v/t).

U n=2 (čtverec) je tento poměr pro hlavní útvar t/t = 1. Pro menší dílčí útvary je to a/{a = 1 a b/b = 1. Směrnice všech tří útvarů jsou lineárně závislé (konstantní, úhel 45`). Geometrická transformace plochy pomocí r  probíhá podél této lineární osy, což umožňuje, aby se racionální filtr r protnul s celými čísly a, b, c.

U n=3 (obdélník t *  t^2) je směrnice hlavního útvaru (t^2)/ t = t. Pro dílčí útvary by směrnice musely být (a^2)/ a = a  a  (b^2)/ b = b.Zde je to klíčové matematické tvrzení: Směrnice (t, a, b) jsou nyní proměnné veličiny závislé na samotných základech hledaných mocnin.Pokud by měla existovat celočíselná trojice pro a^3 + b^3 = c^3, musel by existovat lineární geometrický operátor (transformace v rovině), který by dokázal složit plochu se směrnicí t ze dvou ploch se směrnicemi a a b, aniž by opustil celočíselnou mřížku. Jenže protože a (není) b (není) t, tyto tři útvary mají v 2D rovině různé geometrické sklony.Vazba mezi plochou (2D) a mocninou (3D) se zde algebraicky trhá: abychom v 2D ploše udrželi celočíselné strany a, b, c, musel by filtr r nabývat iracionálních hodnot, což popírá celočíselnost. A pokud udržíme r racionální, osy útvarů se v grafu geometricky zkroutí (ztratí linearitu).

Závěr pro diskusi:Máš pravdu, že z linearity roviny nelze jen tak odvodit chování 3D prostoru. Můj model ale ukazuje přesný opak: ukazuje, že pokud se pokusíme 3D vztah (n=3) násilím reprezentovat v 2D euklidovské ploše (grafu pohybu) při zachování binárního sčítání, matematické podmínky pro celočíselnost stran a linearitu směrnic se navzájem vylučují.Dvojka (n=2) je jediný rozměr, kde směrnice nezávisí na velikosti strany (t/t}=1$), a proto je to jediné místo, kde filtr r generuje celočíselná řešení.“

Odpověď:  Odkaz


Souhlasím, že současná formulace ještě nepředstavuje úplný důkaz FLT. Můj cíl je zatím skromnější: geometrický model.


Odkaz