Matematické Fórum

Crusty · 06. 08. 2009 19:13 — Editoval Crusty (06. 08. 2009 19:14)

prosim pomozte, nevim kdy jakej vzorecek rozkladu pouzit mohli byste mi pomoct s par priklady?

diky sem z toho zoufaly, a ceka mi to u zkousky

Crusty · 06. 08. 2009 19:27

sem se snazil, ale nak pak neumim vyjadrit dx, prosim poradte, diky

jelena · 06. 08. 2009 23:16

↑ Crusty:

zadání 1297 - za použití tvého návrhu per partes (snad takto):

$\int \frac{dx}{\cos^3x}=\frac{\mathrm{tg x}}{\cos x}-\int \frac{\sin^2 x dx}{cos^3x}=\frac{\mathrm{tg x}}{\cos x}-\int \frac{(1-\cos^2 x)dx}{cos^3x}=\frac{\mathrm{tg x}}{\cos x}-\int \frac{dx}{cos^3x}+\int\frac{dx}{\cos x}$

$2\int \frac{dx}{\cos^3x}=\frac{\mathrm{tg x}}{\cos x}+\int\frac{dx}{\cos x}$ , odsud $\int \frac{dx}{\cos^3x}=\frac{\frac{\mathrm{tg x}}{\cos x}+\int\frac{dx}{\cos x}}{2}$

zbyvá vyřešit "tuto část" $\int\frac{dx}{\cos x}=\int\frac{\cos x dx}{\cos^2 x}=\int\frac{\cos x dx}{1-\sin^2 x}$

substituce $\sin x=t$ a dál přes parciální zlomek...

OK?

musixx · 07. 08. 2009 08:49

Milý Crusty. Zde jsem ti včera ve druhém příspěvku tématu napsal, jak všechny integrály tohoto typu převádět substitucí na v zásadě snadné integrály z racionálních lomených funkcí. Proč se toho nedržíš?

Crusty · 07. 08. 2009 13:16

ja se toho snazim drzet, ale vzdycky mam problem s vyjadreni dx, u tech prikladu kdyz mam substituci t= sin(x), dt= cos(x)dx tak mi vychazi dt^3 a prave todle neumim s tim , ale je kravina udelat x= arcsin(x) ne? a pak to derivovat abych dostal dx

musixx · 07. 08. 2009 13:32 — Editoval musixx (07. 08. 2009 13:36)

↑ Crusty: Já neřákám, že je to vždy nejrychlejší, ale když je integrovaná funkce lichá k sinu nebo cosinu, tak ta odpovídající substituce vždy vede k cíli. Jak ti vychází dt^3? To je nesmysl...

Příklad odtud (lichá ke cosinu - subst. sin(x)=t): $\int\frac{{\rm d}x}{\cos^3x}=\int\frac{\cos x\,{\rm d}x}{\cos^4x}=\int\frac{\cos x\,{\rm d}x}{(1-sin^2x)^2}=\int\frac{{\rm d}t}{(1-t^2)^2}$ .

Ta lichost se využije právě proto, aby tam bylo $\sin x\,{\rm dx}$ , resp. $\cos x\,{\rm d}x$ a všechny zbylé výskyty sinu či kosinu se upraví pomocí goniometriké jedničky na funkci, která je v substituci. Tak vznikne integrál z racionální lomené funkce.

EDIT: Třeba $\int\frac{\sin^2x}{1+\sin^2x}\,{\rm d}x$ neni lichý ani k sinu, ani cosinu. Na ten se touto substitucí standardně jít nedá.

EDIT2: Užitečné bývá se zápisem integrované funkce nějak zacvičit a pomocí pravidel pro počítání s gonoimetrickými funkcemi ji nějak upravit, třeba zjednodušit.

Crusty · 07. 08. 2009 14:52

↑ musixx:
ano a tady prave nevim, kdyz je ten priklad int(sin^2(x))/(1+sin^2(x))) tak prave bych udelal subtituci t= sin(x), a to dx prave nevim jak vyjadrit :-/

Crusty · 07. 08. 2009 15:14

muzu se zeptat jak to bude vypadat, kdyz rozlozim na parcialni zlomky, ja tady prikladam fotku, ale nak sem se zamotal

Crusty · 07. 08. 2009 15:18

↑ jelena:
prosim o to vyjadreni pres parcialni zlomek, nevim jak to bude vypadat, neumim resit parcialni zlomky

musixx · 07. 08. 2009 15:22 — Editoval musixx (07. 08. 2009 15:24)

↑ Crusty: Ovšem pro účely rozkladu na parciální zlomky je třeba uvážit $(1-t^2)^2=(1-t)^2\cdot(1+t)^2$ , tedy $\frac1{(1-t^2)^2$ hledat ve tvaru $\frac A{1-t}+\frac B{(1-t)^2}+\frac C{1+t}+\frac D{(1+t)^2}$ .

Kondr · 07. 08. 2009 15:30

↑ Crusty:Řešeno podrobně zde.

↑ musixx:Zdravím :o) Sorry, trvalo mi to vyštrachat tu starou verzi, mohl jsem ti ušetřit "vynalézání kola". Příště budu svoje příspěvky psát tak, abych je našel. Jelena má celkem dobrý nápad s použitím klíčových slov, možná s tím začnu.

Crusty · 07. 08. 2009 15:34

jj takle, diky moc, me ta matika nejde proste

Crusty · 07. 08. 2009 15:53

mrkl sem na vysledek a neni ve tvaru parcialnich zlomku ve vysledcich je sin(x)/(2cos^2(x)) + 1/4(1+sin(x)/(1-sin(x)))
myslite ze by to slo dat do tohodle tvaru?

musixx · 07. 08. 2009 16:04

↑ Crusty: Až vyřešíš ten integrál z racionální lomené funkce, na kterou ses právě pomocí rozkladu na parciální zlomky dostal, tak znova použiješ substituci sin(x)=t, aby ses vrátil k původní proměnné x. Proměnná t je jakási pomocná. Není nic jako "výsledek ve tvaru parciálních zlomků".

Crusty · 07. 08. 2009 17:49 — Editoval Crusty (07. 08. 2009 17:50)

prosim ted sem zkusil resit tento priklad int(sin^2(x))/(1+sin^2(x)))
na fotce muj postup jen nedokazu zintegrovat int(1/(3-cos2x))
diky

Kondr · 07. 08. 2009 17:59

Tady jsou ty exponenty sudé a malé, takže ta substituce tg(x)=t povede rychle k cíli. (Tentokrát jsem ověřil MAWem, že to fakt půjde a vyjde číselně relativně pěkně, jen nějaké odmocniny ze dvou tam straší).

Crusty · 07. 08. 2009 18:28

↑ Kondr:
tak sem tedka to pocital podle vasich rad substituci tg(x) ale vyslo mi to pekne osklive :-/ prikladam foto

Kondr · 07. 08. 2009 19:59

↑ Crusty:Asi se neshodneme na rozsahu slova "pěkný", vypadá to OK. Akorá při převádění na společného jmenovatele je k ničemu roznásobovat, lepší je nechat toho jmenovatele ve tvaru (t^2+1)*(2t^2+1), ty parciální zlomky vyjdou jen dva, dají se spočítat z hlavy a ani jejich integrace není těžká ...

Matematické Fórum

#1 06. 08. 2009 19:13 — Editoval Crusty (06. 08. 2009 19:14)

integraly tvaru (sin(x), cos(x))

#2 06. 08. 2009 19:27

Re: integraly tvaru (sin(x), cos(x))

#3 06. 08. 2009 23:16

Re: integraly tvaru (sin(x), cos(x))

#4 07. 08. 2009 08:49

Re: integraly tvaru (sin(x), cos(x))

#5 07. 08. 2009 13:16

Re: integraly tvaru (sin(x), cos(x))

#6 07. 08. 2009 13:32 — Editoval musixx (07. 08. 2009 13:36)

Re: integraly tvaru (sin(x), cos(x))

#7 07. 08. 2009 14:52

Re: integraly tvaru (sin(x), cos(x))

#8 07. 08. 2009 15:14

Re: integraly tvaru (sin(x), cos(x))

#9 07. 08. 2009 15:18

Re: integraly tvaru (sin(x), cos(x))

#10 07. 08. 2009 15:22 — Editoval musixx (07. 08. 2009 15:24)

Re: integraly tvaru (sin(x), cos(x))

#11 07. 08. 2009 15:30

Re: integraly tvaru (sin(x), cos(x))

#12 07. 08. 2009 15:34

Re: integraly tvaru (sin(x), cos(x))

#13 07. 08. 2009 15:53

Re: integraly tvaru (sin(x), cos(x))

#14 07. 08. 2009 16:04

Re: integraly tvaru (sin(x), cos(x))

#15 07. 08. 2009 17:49 — Editoval Crusty (07. 08. 2009 17:50)

Re: integraly tvaru (sin(x), cos(x))

#16 07. 08. 2009 17:59

Re: integraly tvaru (sin(x), cos(x))

#17 07. 08. 2009 18:28

Re: integraly tvaru (sin(x), cos(x))

#18 07. 08. 2009 19:59

Re: integraly tvaru (sin(x), cos(x))

Zápatí