Matematické Fórum

Legie · 15. 01. 2008 18:24

Ahoj, potřeboval bych pomoct s timhle:

Zadaní: Dokažte mat. ind., že (n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3) je dělitelné devíti.

1. pro n=1 -> OK

2. pro n+1:

Sestavím rci:
--------------

(n+1)^3 + (n+1+1)^3 + (n+1+2)^3 = n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 + (n+3)^3 - n^3
-----------------
L=P

Stačí dokázat, že ((n+3)^3 - n^3) je dělitelné devíti

Příklad je dobře, moje otázka zní, proč stačí jenom dokázat dělitelnost pro výraz ((n+3)^3 - n^3)?

PS:((n+3)^3 - n^3) se spočítá takhle:
---------------------------------------------
((n+1)^3 + (n+1+1)^3 + (n+1+2)^3) - (n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3)

Díky

Lukee · 15. 01. 2008 18:30

(n+1)^3 + (n+1+1)^3 + (n+1+2)^3 = n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 + (n+3)^3 - n^3

Protože ta vyznačená část je předpoklad. Při dokazování matematickou indukcí předpokládáme, že předpoklad platí, což můžeme využít dále v úpravách – ta vyznačená část tedy je dělitelná devíti a stačí nám dokázat, že ten zbytek je také dělitelný devíti, protože $9|a\, \wedge \,9|b \Rightarrow 9|(a+b)$

Legie · 15. 01. 2008 18:39

mě se spíše jedná o ten konkrétní výraz, proč má zrovna takový tvar (n+3)^3 - n^3

Legie · 15. 01. 2008 20:40

respektive jaktože mužu sestavit rci v takovem tvaru: vyraz+1 = vyraz + ((vyraz + 1) - vyraz)

sneakfast · 15. 01. 2008 21:23

↑ Legie:

protože
vyraz - vyraz = 0
a (vyraz + 1) = (vyraz + 1)

když na jednu stranu rovnice přičteš nulu, nestane se nic

Legie · 15. 01. 2008 23:24

v tom případě ale dokazuji indukcí platnost pro jedničku, nikoliv však pro n+1 ???

Legie · 16. 01. 2008 00:36

už jsem to pochopil, díky moc

Matematické Fórum

#1 15. 01. 2008 18:24

Matematická indukce

#2 15. 01. 2008 18:30

Re: Matematická indukce

#3 15. 01. 2008 18:39

Re: Matematická indukce

#4 15. 01. 2008 20:40

Re: Matematická indukce

#5 15. 01. 2008 21:23

Re: Matematická indukce

#6 15. 01. 2008 23:24

Re: Matematická indukce

#7 16. 01. 2008 00:36

Re: Matematická indukce

Zápatí