Matematické Fórum

Ginco · 07. 08. 2009 14:47

ahoj všem rozhodl jsem se, že nechci zaneřídit forum a založim jedno komplexnejší vlákno ohledně diskrétky.

Mam jednu úlohu :
,
platí pro libovolnou čtveřici množin rovnost $A X B = C X D$ , pokud A = C a B = D, kde symbol X pro me značí kartézský součin. Toto beru, je jasné, že to paltí, ovšem podúloha zněla, co když se všechny symboly $=$ vymení za $\subset$ ?

Výsledek je, že také platí, ale můj dotaz zní, zda je definován kartézský součin pro 2 prázdné množiny? děkuji

Kondr · 07. 08. 2009 15:03

↑ Ginco:Kartézský součin množin, z nichž jedna je prázdná, je prázdný. Kartézský součin přes prázdnou množinu (tj. násobíme mezi sebou 0 množin) je jednoprvková množina obsahující prázdnou množinu.

Ginco · 07. 08. 2009 15:45

↑ Kondr:

můžu mít dotaz ?

takže platí
: prazdna množina X neprazdna = prazdna množina
prazdna množina X prazdna množina = {prazdna množina} ?

je to tedy ten rozdil mezi prazdná množina a {prazdna množina}? děkuji

musixx · 07. 08. 2009 15:55 — Editoval musixx (07. 08. 2009 16:02)

↑ Ginco: Ne. Kondr byl kousek dál.

$\emptyset\times\emptyset=\emptyset$
$\emptyset\times\emptyset\times\emptyset=\emptyset$
$\emptyset\times\emptyset\times\emptyset\times\emptyset=\emptyset$

Položím-li
$A=\{\emptyset,\emptyset\}$
$B=\{\emptyset,\emptyset,\emptyset\}$
$C=\{\emptyset,\emptyset,\emptyset,\emptyset\}$ ,
pak mohu to výše napsané psát též...

...EDIT: nebudu se plést Kondrovi do odpovědi. Vidím, že už začal. Já jsem skončil u hledání symbolu pro kartéský součin v mimeTeXu - ne \prod, ale jakoby velké X.

Kondr · 07. 08. 2009 15:58

↑ Ginco:Pokud jste si definovali kartézský součin jen pro dvě množiny, pak
cokoliv x prázdná = prázdná (cokoliv může být prázdné i neprázdné). Pokud studuješ technicky zaměřenou školu, je nejspíš tenhle pohled na kartézský součin OK a já jsem tě jen zbytečně popletl. Šlo mi o zdůraznění jednoho takového chytáku, který platí, když kartézský součin chápeme pro obecný počet množin. Výrazy $A_1\times A_2$ , $A_1\times A_2\times A_3$ atd. se zkráceně zapisují jako $\prod_{i\in I}A_i$ , v prvním případě I={1,2}, ve druhém I={1,2,3}. To co jsem psal, byla rovnost $\prod_{i\in \emptyset}A_i=\{\emptyset\}$ .

Ginco · 07. 08. 2009 16:08

OK díky, asi jsem to pochopil, díky za zdůraznění, ale má to nějaký význam?

musixx · 07. 08. 2009 16:11

↑ Ginco: Kondr (zdravím!) je Offline, tak snad se naše odpovědi zase nestřetnou.

Význam součinu přes prázdnou množinu je spíš teoretický. Nebudeš-li studovat matematiku podrobně, nemusí tě to vůbec trápit.

Ginco · 07. 08. 2009 16:16

↑ musixx:

dík já jsem si to asi myslel...teorii množin snad nikdy mít nebudu, takže v pohodě... jen mě to zajímalo

Ginco · 10. 08. 2009 18:27

cus

mam dotaz jak řešit dané úlohy:

1.Najděte graf dané relace a rozhodněte o symterii, reflexivnosti a tranzitivnosti.

$(x,y)\in{RxR};||x|-|y||<2$

$(x,y)\in{RxR};|x-y^2|<1$

$(x,y)\in{RxR};|x-y|\in{Z}$

2.

Ukažte že množina real. čísel tvaru $a-b\sqrt{2},a,b\in{Q}$ vybavená operací sčítání a násobení tvoří těleso

3.

Ukažte, že množina kladných reálných čísel tvaru $a+b\sqrt{5};a,b\in{Q}$ vybavená operací násobení tvoří grupu

Jak by to vypadadlo, kdyby ta opearce byla sčítání?

trochu na to mrknu, ale bych bych hrozne rad, kdyby mi nekdo pomohl, díky

Kondr · 10. 08. 2009 19:51

↑ Ginco:
V 1) je u každé části potřeba obrázek a tři vlastnosti. Některé jsou přitom dost snadné. Zkus trochu upřesnit, co nevíš.
Návod: Reflexivita -- do definiční vlastnosti za x dosaď y a ověř, jestli je splněno.
Symetrie -- předpokládej, že vztah platí pro x a y, prohoď x a y a ověř.
Tranzitivita -- potřeba rozepsat z definice.
Obrázek -- u nerovností nejprve rozmyslet, kde nastává rovnost a pak správnou oblast vybarvit.
U třetí části rozmyslet pro pár konkrétních celých čísel n, jak vypadá množina splňující |x-y|=n, pak takové množiny nakreslit pro všechna n (vyjde nekonečně mnoho rovnoběžek).

Ve 2) nám dost pomůže, že se jedná o podmnožinu tělesa reálných čísel. Naši množinu označme standardně $\mathbb{Q}[\sqrt 2]$ . Stačí nám ukázat, že když $x,y\in \mathbb{Q}[\sqrt 2]$ , pak i $1,0,-x,1/x,x+y,x\cdot y\in \mathbb{Q}[\sqrt 2]$

Příklad 3) je analogický s 2), pokud jde o sčítání. U násobení ale narazíme, protože narozdíl od 2) chceme, aby všechny prvky měly inverzi k násobení (a on jeden nemá).

Ginco · 11. 08. 2009 13:32

Ok díky, ale přece jen můžeš poradit?

$||x|-|y||=2$
$(|x|-|y|)^2=4$
$x^2-2|x|.|y|+y^2=4$

a dál jsem jalovej...absolutní hodnoty mi nikdy nešly...prosim o radu

Ginco · 11. 08. 2009 14:00

$|x|-|y|=-2$
$|x|-|y|=+2$
-----------------
$|y|=2+|x|$
$y|=-2+|x|$
-----------------
$y=+-(2+|x|)$
$y=+-(-2+|x|)$

a ze zadání plyne

$y>2+|x|$
$y>-2-|x|$

a

$y<-2+|x|$
$y<2+-|x|$

tyto 4 nerovnosti si zakreslím a dál zjištuji vlastnosti... je to správne?

Kondr · 11. 08. 2009 14:44

↑ Ginco:No moc se ve tvém postupu nevyznám, myslím, že je do toho potřeba zakomponovat ty nulové body. Já jsem si řekl, že když je tam x pouze v abs. hodnotě bude to souměrné podle osy y, protože je v abs. hodnotě i y, je to souměrné podle x. V prvním kvadrantu to musí splňovat |x-y|<2, tj. -2<x-y<2 čemuž vyhoví pás mezi přímkami y=x+2 a y=x-2. Ostatní kvadranty lze dokreslit z těch symetrií, vyjde takový kříž.

Ginco · 11. 08. 2009 19:00

↑ Kondr:

Jo díky moc, budu to dělat podle těch kvadrantů

Matematické Fórum

#1 07. 08. 2009 14:47

příprava na zkoušku z diskrétní matematiky

#2 07. 08. 2009 15:03

Re: příprava na zkoušku z diskrétní matematiky

#3 07. 08. 2009 15:45

Re: příprava na zkoušku z diskrétní matematiky

#4 07. 08. 2009 15:55 — Editoval musixx (07. 08. 2009 16:02)

Re: příprava na zkoušku z diskrétní matematiky

#5 07. 08. 2009 15:58

Re: příprava na zkoušku z diskrétní matematiky

#6 07. 08. 2009 16:08

Re: příprava na zkoušku z diskrétní matematiky

#7 07. 08. 2009 16:11

Re: příprava na zkoušku z diskrétní matematiky

#8 07. 08. 2009 16:16

Re: příprava na zkoušku z diskrétní matematiky

#9 10. 08. 2009 18:27

Re: příprava na zkoušku z diskrétní matematiky

#10 10. 08. 2009 19:51

Re: příprava na zkoušku z diskrétní matematiky

#11 11. 08. 2009 13:32

Re: příprava na zkoušku z diskrétní matematiky

#12 11. 08. 2009 14:00

Re: příprava na zkoušku z diskrétní matematiky

#13 11. 08. 2009 14:44

Re: příprava na zkoušku z diskrétní matematiky

#14 11. 08. 2009 19:00

Re: příprava na zkoušku z diskrétní matematiky

Zápatí