Matematické Fórum

simonaj1

Potřebovala bych pomoci se slovní úlohou:
Jaký bude nárůst obyvatel, když byl počáteční stav 100.000 obyvatel a za 10 let vzrostl počet obyvatel na 120.000. Kolik bude obyvatel za dalších 10 let, když vezmeme v úvahu, že je čas konstantní. Použijte variantu ln e!

mám tady k tomu nějaký výpočet, ale vůbec netuším odkud se co bere:-(

$\frac{dp(t)}{dt}\sim{p}(t)\rightarrow{\frac{dp}{dt}=kp}\rightarrow{\int\frac{dp}{p}}=\int{kdt}\rightarrow{lnp=lne^{kt}+lnc}$ tak tomuhle nerozumím asi vůbec
$p=Ce^{kt}\rightarrow{C=100000}$
$200000=100000.e^{10k}$ kde se např. vzalo těch 200000
$lne^{10k}=ln^2$
$10k=ln^2$
$k=\frac{ln^2}{10}$

$p=100000.e^{\frac{ln^2}{10}t}$
$p_{(20)}=100000.e^{\frac{ln^2^2}{10}20}$
$e^{ln^4}=4\rightarrow{400000}obyvatel$

Kondr · 18. 08. 2009 22:09

↑ simonaj1:Nevím, co je varianta ln e!, ale k tomu zbytku: p(t) je populace v čase t, pokud píšeme p bez parametru, myslíme p(t).

$\frac{dp(t)}{dt}\sim{p}(t)$ rychlost růstu populace je úměrná její aktuální hodnotě -- to je poměrně jednoduchý model, který nám dali biologové a my ho musíme vzít jako fakt. Koeficient zmíněné přímé úměrnosti označíme k, máme rovnici
$\frac{dp}{dt}=kp$ proměnné separujeme (vydělíme p a "vynásobíme dt" -- není to přesný název, ale dělat se to může)
$\frac{dp}{p}=kdt$ to je rovnost dvou funkcí, na obou stranách lze provést neurčitý integrál
$\int\frac{dp}{p}}=\int{kdt}$ , po vyčíslení
$\ln p+C_1=\ln e^{kt}+C_2$ , zavedením další konstanty $C$ , pro kterou $\ln C=C_2-C_1$
máme
$\ln p=\ln e^{kt}+\ln C$ , odlogaritmujeme (umocníme e na levou a na pravou stranu)
$p=Ce^{kt}$
A tohle musí platit pro všechna t. Dosazením t=0 máme
$p(0)=Ce^0=C$ , v čase 0 je populace 100.000, proto $C=100\,000$
Dále
$p(10)=Ce^{10k}=100\,000e^{10k}$
dosazením $p(10)=120\,000$ máme $e^{10k}=1.2$ . Nás zajímá
$p(20)=Ce^{20k}=C(e^{10k})^2=144\,000$ .

Co se týče toho dosazení 200000, taky nevím, připadá mi to jako rozpor zadání a řešení.

simonaj1 · 18. 08. 2009 22:23

↑ simonaj1: myslím, že je tam někde chyba, ten přírůstek 400000 se mi zdá nějak moc... když to vezmu kolem a kolem, myslím, že by měl přírůstek po 20 letech být 40.000 a že těch podezřelých 200.000 měl být původní přírůstek po 10 letech, tedy 20.000???

simonaj1 · 18. 08. 2009 22:44

↑ Kondr:
k tomuhle jsem se dopočítala původně když jsem to vzala tak, že za 10 let byl nárůst o 1/5 původního základu... takže nový základ 120.000 + jeho 1/5 dalo 144.000 jen mě zmátl ten výpočet... takhle jak to píšeš už mi to jakžtakž smysl dává... jen takový dotaz... tohle $\int{kdt}$ se integruje nějak speciálně? .. možná se teď ptám hloupě... ale prosím trpělivost:-)

halogan · 18. 08. 2009 22:57

Integrace konstanty k podle t. Nutně tedy vychází kt.

jarrro · 18. 08. 2009 22:59 — Editoval jarrro (04. 03. 2018 20:23)

↑ simonaj1:integrál konštanty čiže kt+c kondr to len prepísal podľa vzťahu $\text{cislo}=\ln{$\mathrm{e}^{\text{cislo}}$}$

simonaj1 · 18. 08. 2009 23:00

↑ halogan: takhle mi to vychází také, ale nechápu, kde se tam pak vzalo to $lne^{kt}$

jarrro · 18. 08. 2009 23:02 — Editoval jarrro (18. 08. 2009 23:02)

↑ simonaj1:pozri↑ jarrro:

simonaj1

↑ jarrro: díky...už jsem to tu také vykoumala... $lne^{kt}=kt$ ach ty základy:-)

kaja(z_hajovny) · 19. 08. 2009 00:41

↑ Kondr:
Taky si myslim ze to reseni ktere napsala simona1 v prvnim prispevku nebude uplne vzorove. Napriklad ten predpoklad, ze cas je konstantni, je dost podivny :)

simonaj1

↑ Kondr: prosím, měla bych ještě dotaz... s logaritmy nejsem velký kamarád... jak by se z toho $e^{10k}=1.2$ vyjádřilo k

EDIT: je to takhle?
$lne^{1.2}=10k$

$\frac{lne^{1.2}}{10} =k$

a z toho pak osazením pro 20 let... $20\frac{lne^{1.2}}{10}=2lne^{1.2}=ln(e^{1.2})^2=(1.2)^2$

Cheop · 19. 08. 2009 11:37 — Editoval Cheop (19. 08. 2009 11:42)

↑ simonaj1:
$e^{10k}=1.2\nl10k\cdot\ln e=\ln\left(1.2\right)\nl10k=\ln\left(1.2\right)\nlk=\frac{\ln\left(1.2\right)}{10}\,\approx\,0.018232$
Platí totiž toto: $\ln e=1$
$\ln$ je přirozený logaritmus

Matematické Fórum

#1 18. 08. 2009 22:05 — Editoval simonaj1 (18. 08. 2009 22:05)

slovní úloha - nárůst obyvatel

#2 18. 08. 2009 22:09

Re: slovní úloha - nárůst obyvatel

#3 18. 08. 2009 22:23

Re: slovní úloha - nárůst obyvatel

#4 18. 08. 2009 22:44

Re: slovní úloha - nárůst obyvatel

#5 18. 08. 2009 22:57

Re: slovní úloha - nárůst obyvatel

#6 18. 08. 2009 22:59 — Editoval jarrro (04. 03. 2018 20:23)

Re: slovní úloha - nárůst obyvatel

#7 18. 08. 2009 23:00

Re: slovní úloha - nárůst obyvatel

#8 18. 08. 2009 23:02 — Editoval jarrro (18. 08. 2009 23:02)

Re: slovní úloha - nárůst obyvatel

#9 18. 08. 2009 23:05 — Editoval simonaj1 (18. 08. 2009 23:06)

Re: slovní úloha - nárůst obyvatel

#10 19. 08. 2009 00:41

Re: slovní úloha - nárůst obyvatel

#11 19. 08. 2009 11:30 — Editoval simonaj1 (19. 08. 2009 11:40)

Re: slovní úloha - nárůst obyvatel

#12 19. 08. 2009 11:37 — Editoval Cheop (19. 08. 2009 11:42)

Re: slovní úloha - nárůst obyvatel

Zápatí