Matematické Fórum

Tom · 25. 08. 2009 21:42

Nikde jsem poradne nemohl vystourat co to vlastne je...Melo by to byt neco ve spojeni s maticemi. Mohl by mi to nekdo vysvetlit? nejlepe na prikladu:)

diky

Olin · 25. 08. 2009 21:49

http://cs.wikipedia.org/wiki/Kroneckerovo_delta

Z těch prvních tří řádků to není jasné?

Tom · 25. 08. 2009 21:59

Olin
jasny na wiki jsem sel nejdriv, ale 2x z toho moudrej nejsem. Potreboval bych to videt spis na konkretnim priklade

rughar · 25. 08. 2009 22:23 — Editoval rughar (25. 08. 2009 22:34)

↑ Tom:

Jak říká Wiki, chápat se dá jako čtvercová matice a nebo jako tenzor druhého řádu.

Jako čtvercová matice je to úplně normální čtvercová matice která je zvláštní tím, že na hlavní diagonále má jedničky a všude jinde má nuly. Této matici se říká identická matice. A Kronekerovo delta je reprezentace této matice v indexovém formalismu. Tj. kde matici přísluší dva indexy (číslující sloupec a řádek). Pak tedy má hodnutu 1 když se indexy shodují a 0 když jsou různé.

Tenzor druhého řádu lineárně zobrazuje jeden vektor na druhý. A Kronekerovo delta coby tenzor druhého řádu zobrazí vektor na ten samý.

Smysl používání Kronekerova symbolu je spíš formální. Používá se (pokud vím) jen v indexovém formalismu a slouží k zápisu některých vektorových operací. Jeho význam v tomto formalismu je ten, že pomocí něj se dá přeznačit index.

V podstatě stačilo jen říct, že plní v indexovém formalismu stejnou úlohu, jako jednotková matice v maticovém formalismu.

Wiki pak mluví o dalších případech, kde je poloha indexů u symbolu stejná. To už nespadá do Kronekerova delta. Těmto symbolům se říká buď shifers symbol (mechanika kontinua) a nebo se pak mluví o metrickém tenzoru (diferenciální geometrie). To už s Kroneckerem nemá prakticky nic co dělat.

Doufám že jsem to nespletl. Nikdy jsem formalismy neměl moc rád.

-----

Konkrétní příklad. Je vektor v a u. Řekněme třírozměrný. Pak když platí rovnice

$v^i = \sum_{j=1}^3 \delta^i_j u^j$

Pak u a v jsou tytéž vektory. Nebo například skalární součin v euklidovském prostoru a v kartézkých souřadnicích dvou vektorů lze zapsat

$s = \sum_{i,j=1}^3 \delta_{ij} v_i u_j$

Pozn. v kartézksých souřadnicích a Euklidovském prostoru je jedno, jestli píšeme indexy nahoru nebo dolů.

Poslední co mě napadá je, že například tato identita.

$\sum_{i=1}^3 \eps_{ijk} \eps_{imn} = \delta_{jm} \delta_{kn} - \delta_{kn}\delta_{jn}$

Opět v kartézských souřadnicích euklidovského prostoru. Pomocí této identity lze přímo dovodit slavná vektorová identita BAC - CAB.

http://mathworld.wolfram.com/BAC-CABIdentity.html

Kronekerovo delta je tedy formální a používá se při odvozování různých operací ve všemožných vektorových prostorech. V praxi se s tím nepočítá.

Edit: Kolega Marian byl možná pomalejší než můj příspěvek, ale rychlejší než můj první edit :-)

Marian · 25. 08. 2009 22:24 — Editoval Marian (25. 08. 2009 22:26)

↑ Tom:
Třeba zápis jednotkové matice $\mathbf{E}_n$ , $n\in\N$ se dá zapsat pomocí Kroneckerova symbolu $delta _{i,j}$ takto:

Jinak řečeno, jsou-li indexy i,j shodné, tj., je-li i=j, je $\delta _{i,j}=\delta_{i,i}=\delta_{j,j}=:1$ , v ostatních případech, tj. pro i<j nebo i>j, platí $\delta _{i,j}=\delta_{j,i}=:0$ obojí dle definice. Na jednotkové matici řádu n se to pak projeví tak, že prvky, které jsou na takové pozici, že index řádkový je roven indexu sloupcovému (tedy prvky hlavní diagonály) jsou rovny jedničce, v ostatních případech nula.

Význam je především teoretický. Mj. se jedná o aritmetickou funkcí dvou proměnných, tj. zobrazuje libovolnou dvojici přirozených čísel $(i,j)$ na množinu $\{ 0,1\}$ , tj.
$\delta :\qquad (i,j)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\quad\mapsto\quad \{ 0,1\} .$

Snad je již symbol Kroneckerova delta jasnější.

Edit.: Kolega rughar byl rychlejší ...

Rumburak

↑ Tom:
Ještě jiný příklad použití:
Mějme množinu $\{\vec{u}_1,\, \vec{u}_2,\, ...,\vec{u}_m\}$ vektorů lineárního prostoru opatřeného skalárním součinem $\vec{x}\cdot \vec{y}$ .
Svúj význam má, je-li taková množina ortonormální, tj. splňuje-li podmínky
$\vec{u}_n\cdot \vec{u}_k = 1 , \,\,\text{pokud}\, n = k$ , $\vec{u}_n\cdot \vec{u}_k = 0 , \,\,\text{pokud}\, n \ne k$ .
Pomocí Kroneckerova delta můžeme obě tyto podmínky shrnout v jednu, a sice $\vec{u}_n\cdot \vec{u}_k = \delta_{n,k}$ ,
což se hodí k technickému provádění některých výpočtů, jak nyní ukážeme.

Mějme ještě vektory $\vec{x} = \sum_{i=1}^{m} a_i \vec{u}_i$ , $\vec{y} = \sum_{j=1}^{m} b_j \vec{u}_j$ , a určeme jejich skalární součin. Obdržíme
$\vec{x}\cdot \vec{y} = $\sum_{i=1}^{m} a_i \vec{u}_i$$\sum_{j=1}^{m} b_j \vec{u}_j$ =\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}a_ib_j\vec{u}_i\vec{u}_j=\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{m}a_ib_j\delta_{i,j}$ .
Uvědomíme-li si nyní význam symbolu $\delta_{i,j}$ , shledáme, že $\vec{x}\cdot \vec{y} = \sum_{i=1}^{m}a_ib_i$ .