Matematické Fórum

laurau · 27. 08. 2009 10:05

Můžete mi prosím někdo poradit jak spočítat tuto řadu. Nevím si s ní rady, budu moc vděčná. Děkuji: Zjistěte, jestli řada konverguje: Σ n^2 / [2+(1/n)]^n

lukaszh

↑ laurau:
Ak to má vyzerať takto
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{$2+\frac{1}{n}$^n}$
tak najprv treba vyšetriť nutnú podmienku:
$0\le\frac{n^2}{$2+\frac{1}{n}$^n}\le\frac{n^2}{2^n}$
$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{2^n}=0$
NPK je teda splnená. Teraz možno použiť odmocninové kritérium
$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n^2}{$2+\frac{1}{n}$^n}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n^2}}{2+\frac{1}{n}}=\frac{1}{2}\,<\,1$
Rad teda konverguje podľa odmocninového kritéria.

Marian · 27. 08. 2009 10:48 — Editoval Marian (27. 08. 2009 14:27)

↑ lukaszh:
Dokonce je možné použít třeba i kriterium podílové, které bude vizuálně vypadat lépe (ve smyslu, že se nevyskytne n-tá odmocnina a budeme řešit problém na úrovní polynomů, což je, de facto, SŠ). Jistě lze použít i jiná kriteria (podílové kriterium patří k nejslabším).

↑ laurau:
Nelze psát, že chceme "nekonečnou řadu spočíst". Co to znamená "spočítat"? Nejčastěji bych tím rozuměl najít její součet (v Cauchyově smyslu, existuje-li - jsme-li více pokročilí a řada v Cauchyově smyslu diverguje, můžeme použít některou ze silnějších regulárních metod sumability). Tedy správně jsi měla psát, aby byl vyšetřen konvergenční charakter nekonečné řady.

laurau · 27. 08. 2009 11:02

lukaszh: děkuji za pomoc, řady bohužel jsou mou slabou stránkou a vůbec jim nerozumím.

lukaszh · 27. 08. 2009 11:09

↑ Marian:
OT: Aspoň som sa posunul z 9. třídy na SŠ ;-)

laurau · 31. 08. 2009 13:33

↑ lukaszh: Prosím prosím poradis mi jak ještě na tyto 2 řady Σ(1+(2/n)^n(^2) a Σ10^(1-n)/n. Díky moc už dám pokoj pozítří mám zkoušku.

lukaszh · 31. 08. 2009 13:58

↑ laurau:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{1-n}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{-(n-1)}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot10^{n-1}}$
Tento konverguje na základe odmocninového kritéria. Ľahko to overíš.

Ten druhý lepšie uzátvorkuj, lebo neviem o aký rad ide.

laurau · 31. 08. 2009 14:08

$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{1-n}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{10^{-(n-1)}}{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\cdot10^{n-1}}$ ↑ lukaszh: absolutně netuším jak jsi na to přišel, můžeš mi to prosím poslat s mezikroky a ten druhý je Σ(1+(2/n))^n^2: je to na n a n je ještě na druhou

lukaszh · 31. 08. 2009 14:39

↑ laurau:
Problém je v tom, že medzikroky nie sú. Iba by pomohlo
$(A^{B})^C=A^{B\cdot C}$
$A^{-B}=\frac{1}{A^B}$

Pavel Brožek · 31. 08. 2009 15:43

↑ laurau:

$\sum_{n=1}^{\infty}$1+\frac2n$^{n^2}$ diverguje, není splněna nutná podmínka konvergence:

$\lim_{n\to \infty}$1+\frac2n$^{n^2}=\lim_{n\to \infty}\textrm{e}^{n^2\ln$1+\frac2n$}$

$\lim_{n\to \infty}n^2\ln$1+\frac2n$=\lim_{n\to \infty}\frac{\ln$1+\frac2n$}{\frac1{n^2}}=\lim_{n\to \infty}\frac{\frac1{1+\frac2n}\cdot$-\frac2{n^2}$}{-\frac2{n^3}}=\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{n+2}=+\infty$

Z toho plyne
$\lim_{n\to \infty}$1+\frac2n$^{n^2}=+\infty$

Rumburak

↑ laurau:, ↑ BrozekP:
Příslušnou limitu netřeba ani počítat, stačí uvážit, že pro každé přirozené číslo n je
$$1+\frac2n$^{n^2} > \,1$ a ihned vidíme, že nutná podmínka $\lim_{n\to \infty}$1+\frac2n$^{n^2}=0$ splněna NENÍ.

laurau · 31. 08. 2009 16:11

↑ lukaszh: jeste ja na to nemůžu přijít přes to odmocninové kriterium. Stale mi vychazi ze rada je divergentní když použiju odmocn.krit.

Rumburak · 31. 08. 2009 16:15

↑ laurau:
Předveď, jak jsi postupovala (nejlépe v TEXu) a podíváme se, kde je případně chyba.

laurau · 31. 08. 2009 16:28

↑ Rumburak:V TEXu bohužel pracovat neumím, ale zkousela jsem to podilovym kriteriem a vyslo 10 coz je vetsi jak 1, tedy ze řada diverguje.

Rumburak · 31. 08. 2009 16:49

↑ laurau:
$a_n = \frac{10^{1-n}}{n}$ , takže $a_{n+1} = \frac{10^{1-(n+1)}}{n+1}=\frac{10^{-n}}{n+1}$ ,
$\frac{a_{n+1}}{a_n} =a_{n+1}\cdot \frac{1}{a_n} =\frac{10^{-n}}{n+1}\cdot \frac{n}{10^{1-n}} = \frac{10^{-n}}{10^{1-n}}\cdot\frac{n}{n+1} = \frac{1}{10}\cdot\frac{n}{n+1}$ ,
$\lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to \infty}\frac{1}{10}\cdot\frac{n}{n+1}=\frac{1}{10}\cdot \lim_{n\to \infty}\frac{n}{n+1}= \frac{1}{10}$ .

laurau · 31. 08. 2009 16:56

$a_{n+1} = \frac{10^{1-(n+1)}}{n+1}=\frac{10^{2-n}}{n+1}$ tak uz jsem si nasla chybu, ja to totiz neozavorkovala. nejak mi to neprislo nutne :-) bohuzel bylo. Dekuji vsem moc za pomoc

laurau · 31. 08. 2009 17:52

Prosím mám ještě jednu prosbu najděte inverzní fci k fci + D(f): y=sin(1/x)
f-1: x=sin(1/y)
arcsinx=1/y
A tady už nevím jak vyjádřit samotné y, stejny problem mam u D(f)

jarrro · 31. 08. 2009 18:23 — Editoval jarrro (31. 08. 2009 18:26)

$\frac{1}{y}=\mathrm{arcsin}{x}\nly=\frac{1}{\mathrm{arcsin}{x}}$ neviem či myslíš definičný obor pôvodnej funkcie alebo inverznej pôvodná má definičný obor všetky reálne čísla okrem nuly avšak ak chceme aby funkcia g $\mathrm{g}{\left(x\right)}=\frac{1}{\mathrm{arcsin}{x}}$ bola jej inverzná tak musíme jej definičný obor zúžiť na také x pre ktoré platí $\left|\frac{1}{x}\right|\leq\frac{\pi}{2}\nlx\in \left(-\infty;-\frac{2}{\pi}\right\rangle \cup \left\langle \frac{2}{\pi};\infty\right)$ definičný obor inverznej fcie je uzavretý interval od -1 do 1 bez bodu 0

laurau · 31. 08. 2009 18:33

↑ jarrro: díky

Matematické Fórum

#1 27. 08. 2009 10:05

Řada

#2 27. 08. 2009 10:20 — Editoval lukaszh (27. 08. 2009 10:28)

Re: Řada

#3 27. 08. 2009 10:48 — Editoval Marian (27. 08. 2009 14:27)

Re: Řada

#4 27. 08. 2009 11:02

Re: Řada

#5 27. 08. 2009 11:09

Re: Řada

#6 31. 08. 2009 13:33

Re: Řada

#7 31. 08. 2009 13:58

Re: Řada

#8 31. 08. 2009 14:08

Re: Řada

#9 31. 08. 2009 14:39

Re: Řada

#10 31. 08. 2009 15:43

Re: Řada

#11 31. 08. 2009 15:58 — Editoval Rumburak (31. 08. 2009 16:12)

Re: Řada

#12 31. 08. 2009 16:11

Re: Řada

#13 31. 08. 2009 16:15

Re: Řada

#14 31. 08. 2009 16:28

Re: Řada

#15 31. 08. 2009 16:49

Re: Řada

#16 31. 08. 2009 16:56

Re: Řada

#17 31. 08. 2009 17:52

Re: Řada

#18 31. 08. 2009 18:23 — Editoval jarrro (31. 08. 2009 18:26)

Re: Řada

#19 31. 08. 2009 18:33

Re: Řada

Zápatí