Matematické Fórum

Maca · 12. 09. 2009 13:34

Jsem 20 let ze školy, tak se, prosím, nelekejte :
Dle vašich instrukcí (jiných tazatelů) jsem vypočítala skalární součiny a délky vektorů. Dál mám vypočítat velikost jejich úhlů. Našla jsem vzoreček cos (konvex. úhlu) = skal. součin/vel. vektoru. Výsledek mi u všech 3 vektorů vyšel 1.
Ale co to je: cos (konvex.úhlu)=1. Je to pravý úhel? nebo kolik je to stupňů? Jak to zjistit? Potřebuji totiž dále zjistit, zda vektory tvoří ortonormální bázi.
Děkuji předem za polopatickou odpověď.

LukasM · 12. 09. 2009 14:01 — Editoval LukasM (12. 09. 2009 14:30)

↑ Maca:
Ahoj. Pokud ti vyšel cos nějakého úhlu jedna, znamená to, že je to nějaký celočíselný násobek 2pi (tedy 360ti stupňů). Plyne to ze základních vlastností funkce cos - podívej se na graf nebo jednotkovou kružnici.
Nicméně na tom zbytku se mi něco stejně nezdá. Ten vzoreček pro cos konvexního úhlu dvou vektorů by měl být $cos \varphi = \frac{(x,y)}{||x||\cdot ||y||}$ ( x,y - vektory, (x,y) jejich sk. součin, ||x|| je délka x ). Ve jmenovateli jsi nejspíš zapomněla napsat délku toho druhého vektoru.

Pokud to ale děláš kvůli zjišťování ortogonality, pak stačí spočítat jenom ten skalární součin - dva vektory jsou kolmé, když je jejich skalární součin nula. Když pak zjistíš, že ta báze je ortogonální, stačí vektory vydělit jejich délkou a je z ní ortonormální.

Jinak sem zkus napsat celé zadání toho příkladu, ať se určitě bavíme o tom samém. A když napíšeš rovnou i svůj postup, tak se taky nic nestane :-)
Snad jsem nic nespletl.

Edit: Trochu jsem to prve pomotal s tou absolutní hodnotou. Pro výpočet úhlu vektorů ve vzorci není, objeví se tam až při výpočtu úhlu přímek, kdy chceme úhel menší než 90 stupňů. Opravil jsem to, ale v našem případě to moc nemění.

Maca · 12. 09. 2009 14:36

↑ LukasM:
Asi nezvládnu přepis znaků... takže druhou odmocninu ze 2 to celé lomeno dvěma zapíši (2)/2 ... druhou odmocninu z 1 zapíši sqr (1)..... OK?
Zde je příklad: Jsou dány vektory: a=(2)/2 (1,0,1) b= (0,1,0) c=(2)/2 (-1,0,1). Určete velikost těchto vektorů a úhly, které spolu svírají. Rozhodněte, zda tvoří ortogonální či ortonormální bázi prostoru E3.
Můj pokus o řešení:
K výpočtu velikosti vektoru potřebuji znát skalární součin.
skalární součin a = (1*(2)2/2) * (1*(2)/2) + (0*(2)/2) * (0*(2)/2) + (1*((2)/2) * (1*(2)/2) = (1*2/4)+0+(1*2/4)=1/2+0+1/2=1
velikost vektoru a = lal = sqr (1) = 1
Dále jsem se dočetla, že velikost úhlu se vypočítá: cos konvex. úhlu= skal. součin/ velikost vektoru. Z toho :
cos KÚ=1/1=1
Tímto postupem mi pak u všech vektorů vyšla velikost úhlu =1. Jsem hodně mimo?

kaja(z_hajovny)

↑ Maca:
Je-li uhel mezi dvema vektory $a$ a $b$ roven $\phi$ , platí $\cos \phi=\frac{<a,b>}{||a||\cdot ||b||}$ kde <.,.> je skalární součin a ||.|| norma (délka)

takže třeba úhel mezi vektory $a$ a $b$ je devadesát stupňů, protože skalární součin je nula a kosinus devadesáti stupňů je taky nula.

Všechny vektory mají délku jedna, každé dva jsou kolmé a navíc je jich správný počet (tři), takže tvoří ortonormální bázi

Maca · 12. 09. 2009 15:09

Omlouvám se. Jsem zahlcená vzorci a netuším, zda dobře dosazuji. Můžete mi, prosím, konkrétně napsat, zda je můj výpočet správně a pokud ne, kam co dosadit, aby mi to vyšlo. Děkuji.

LukasM · 12. 09. 2009 15:10 — Editoval LukasM (12. 09. 2009 15:13)

↑ Maca:
No, zas tak úplně mimo nejsi, ale dosazuješ do toho vzorečku pro úhel špatná čísla. To že skalární součin $(a,a)=1$ je pravda, když to odmocníš, opravdu dostaneš velikost toho vektoru a. Až sem je to v pořádku.

Pokud ale počítáš úhel dvou nějakých vektorů, musíš (kvůli tomu vzorečku) spočítat skalární úhel TĚCH DVOU vektorů, tedy třeba $(a,b)$ . Když bys použila vzoreček $cos\varphi \frac{(a,a)}{||a||\cdot ||a||}$ (cos udělala), vyjde ti vlastně kosinus úhlu, který ten vektor svírá sám se sebou - proto ti vyšla jednička a úhel vektorů tedy 0 stupňů (logicky). Vlastně je to logické - vypočítat úhel dvou vektorů když do výpočtu použiješ jen jeden z nich je nesmysl.

Je to jasné?

Edit: doplnění - zkrátka a jasně, skalární součin je vždy něčeho s něčím - a je potřeba si uvědomit čeho s čím zrovna potřebuju.

Maca · 12. 09. 2009 15:54

Dobře, pak tedy:
u (a,b)=((2)/2,0,(2)/2) * (0,1,0) / 1*1 = 0+0+0 / 1 = 0 cos 90 st = 0
u (b,c)= 0
u (a,c)= 0
A už se dostávám k větě od Káji, že jsou vektory kolmé, jsou 3 a mají délku 1, takže tvoří ortonormální bázi. :)
Jste skvělí, moooc děkuji a ještě se ozvu.

Matematické Fórum

#1 12. 09. 2009 13:34

Velikost vektorového úhlu

#2 12. 09. 2009 14:01 — Editoval LukasM (12. 09. 2009 14:30)

Re: Velikost vektorového úhlu

#3 12. 09. 2009 14:36

Re: Velikost vektorového úhlu

#4 12. 09. 2009 14:55 — Editoval kaja(z_hajovny) (12. 09. 2009 14:57)

Re: Velikost vektorového úhlu

#5 12. 09. 2009 15:09

Re: Velikost vektorového úhlu

#6 12. 09. 2009 15:10 — Editoval LukasM (12. 09. 2009 15:13)

Re: Velikost vektorového úhlu

#7 12. 09. 2009 15:54

Re: Velikost vektorového úhlu

Zápatí