Matematické Fórum

Vyzek · 26. 08. 2009 12:53

Zdravim,
chtěl bych se zeptat, jestli je relace antisymetrická pokud v ní je pouze jedna uspořádaná dvojice, která toto splňuje.

Např.:
Na množině M { 1,2,3,4,5 } je relace R={ 12 23 34 35 44} , kdy R je M x M.
Podle me je antisymetricka diky dvojici 44 a kdyby jsem ji odebral tak neni antisymetricka. Jsem si ale dost nejistej, dik za pripadnou pomoc ...

Mephisto

Počkej, relace je antisymetrická, pokuď, volně řečeno, pro každé x,y, x ruzne od y, x R y => (not y R x) a naopak.

Čili ta tvoje relace je antisymetrická bez ohledu na to jestli tam máš [4,4] nebo ne: tak jako tak tam neexistují žádné dvě dvojice [x,y] a [y,x], x ruzne od y...

Mephisto · 26. 08. 2009 12:59

Antisymetrická by nebyla, kdybys tam měl navíc ještě třeba [3,2].

Vyzek · 26. 08. 2009 13:03

Dík, už mi to docvaklo.

Vyzek · 27. 08. 2009 18:44

Ještě bych poteboval poradit s něčím,
potřebuju zjistit jestli dva intervaly <0,1> a <-100,100> mají stejnou mohutnost. Nemůžu najít žádnou bijekci, ale určitě nějaká existuje. Myslim si, že to budou nějaký čachry s logaritmem ale ... radši se zeptam.

kaja(z_hajovny)

stačí vhodná přímka (o směrnici 1/200 a procházející na ose y bodem -100)

Mephisto

Určitě existuje bijekce! Je daná například funkcí

$f(x)=200(x-\frac{1}{2})$

Mephisto · 27. 08. 2009 20:35

Trochu komplikovanější je najít třeba bijekci mezi uzavřeným intervalem [0,1] a otevřeným intervalem (0,1)... ;)

Mephisto

Ufff :) Nad tímhle jsem se teda docela zapotil :D Hnus... Je vůbec nějaké jednodušší řešení než tohle???

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Edit: A je to moje vůbec správně??? :O

musixx · 11. 09. 2009 12:45 — Editoval musixx (11. 09. 2009 12:49)

↑ Mephisto: Je to už sice trošku starší téma, ale přeci jen si dovolím pár poznámek.

Nezkoumal jsem, jestli tvá f(x) pokrývá celé (0,1), ale každopádně nedefinuješ f(1), takže to hledaná bijekce není.

Ono se ani nedá čekat nějaké "hezká" bijekce ve tvaru přímek a tak, protože taková "hezká" funkce by byla homeomorfismem mezi otevřenou množinou a množinou, která otevřená není (schválně nepíši uzavřenou množinou), které však homeomorfní nejsou.

Ještě relativně snadno se to dá převést na hledání bijekce mezi otevřeným a polootevřeným intervalem, ale principielně se tím úloha nezjednoduší (stačí položit $[0,1]=\{0\}\cup(0,\frac12]\cup(\frac12,1]$ a $(0,1)=(0,\frac12)\cup\{\frac12\}\cup(\frac12,1)$ a je asi jasné, co chci kam zobrazit).

Já tu bijekci $f:[0,1]\to(0,1)$ vidím asi takto:

1. Iracionální čísla nechává na sobě.
2. Racionální čísla na obou stranách lze seřadit do posloupností a je asi jasné, jak udělat jednoduchou bijekci mezi dvěma posloupnostmi (i-tý člen zobrazit na i-tý).

bobik · 17. 09. 2009 00:41 — Editoval bobik (17. 09. 2009 00:50)

↑ Mephisto:zdravim, mna napada mozno takato funkcia
$f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2k}, & \text{ak 2\mid{x} & k\in\mathbb{N}},\nl \frac{x}{2k+1}, & \text{ak 2\not\mid{x} & k\in\mathbb{N}},\nl \frac{1}{2}, & \text{ak x = 0} \end{cases}$

musixx · 17. 09. 2009 08:44

↑ bobik: Odkud kam tato funkce vede? $f:?\to?$ . Díky použité dělitelnosti to vede z přirozených čísel? Případně si umím představit i z racionálních, ale to pořád není dost, řekl bych. Můžeš to více vysvětlit?

bobik · 17. 09. 2009 08:59

↑ musixx:asi sa mi to nepodarilo dobre zapisat, ide o rozpisanie intervalu <0,1> do nekonecnych postupnosti. a to tak ze 0 -> 1/2 -> 1/4 -> 1/6 ... a 1 -> 1/3 -> 1/5 -> 1/7 ...

musixx · 17. 09. 2009 10:32 — Editoval musixx (17. 09. 2009 10:36)

↑ bobik: Pořád si nějak nerozumíme. Chtít konstruktivně seřadit kontinuum do nejvýše spočetně mnoha posloupností, to chce odvahu. :-) Kam tvoje funkce f zobrazí číslo $\frac1\pi$ ?

Rumburak

↑ Mephisto:
Napadlo mne následující řešení:
Označme $M \,:= \bigcup_{n=1}^{\infty}$\frac{1}{n+1}, \,\frac{1}{n}$$ .
Bijekcí z [0,1] na (0,1) je (aspoň jsem o tom přesvědčen) funkce
$f(x)\,:=\begin{cases} \frac{1}{2}, & \text{pokud} \,\,\,x = 0 \,,\,\nl \frac{1}{\frac{1}{x}+2}, & \text{pokud} \,\, x \in \{\frac{1}{n}\, ; \,n\in \{1,2, 3,...\}\},\nl x, & \text{pokud}\,\, x \in M \end{cases}$ .

Tato funkce se "jen málo" liší od spojité funkce, přesněji: množina $[0,1]-M$ jejích bodů nespojitosti
je řídká a spočetná (a tudíž i nulové Lebesgeovy míry),
dále: funkce f má na množině M (otevřené a husté v [0,1]) vlastní derivaci rovnu 1,
existuje Riemannův integrál $\int_{0}^{1}f(x)\text{d}x\,=\,\frac{1}{2}$ .

musixx · 17. 09. 2009 14:37 — Editoval musixx (17. 09. 2009 14:39)

↑ Rumburak: Zdravím. Také si myslím, že tohle je (hezká) bijekce, a také nedělá nic jiného, než že si pohrává (EDIT: explicitněji než můj příklad funkce f výše) s nějakou spočetnou množinou a zbytek nechává na sobě.

Rumburak · 17. 09. 2009 14:44

↑ musixx: Ahoj, musím dodat, že Tvůj příspěvek o té spočetné množině mne inspiroval.

Matematické Fórum

#1 26. 08. 2009 12:53

Relace - antisymetrie

#2 26. 08. 2009 12:58 — Editoval Mephisto (26. 08. 2009 13:02)

Re: Relace - antisymetrie

#3 26. 08. 2009 12:59

Re: Relace - antisymetrie

#4 26. 08. 2009 13:03

Re: Relace - antisymetrie

#5 27. 08. 2009 18:44

Re: Relace - antisymetrie

#6 27. 08. 2009 19:56 — Editoval kaja(z_hajovny) (27. 08. 2009 19:56)

Re: Relace - antisymetrie

#7 27. 08. 2009 20:32 — Editoval Mephisto (27. 08. 2009 20:33)

Re: Relace - antisymetrie

#8 27. 08. 2009 20:35

Re: Relace - antisymetrie

#9 27. 08. 2009 21:10 — Editoval Mephisto (27. 08. 2009 21:15)

Re: Relace - antisymetrie

#10 11. 09. 2009 12:45 — Editoval musixx (11. 09. 2009 12:49)

Re: Relace - antisymetrie

#11 17. 09. 2009 00:41 — Editoval bobik (17. 09. 2009 00:50)

Re: Relace - antisymetrie

#12 17. 09. 2009 08:44

Re: Relace - antisymetrie

#13 17. 09. 2009 08:59

Re: Relace - antisymetrie

#14 17. 09. 2009 10:32 — Editoval musixx (17. 09. 2009 10:36)

Re: Relace - antisymetrie

#15 17. 09. 2009 14:10 — Editoval Rumburak (17. 09. 2009 15:36)

Re: Relace - antisymetrie

#16 17. 09. 2009 14:37 — Editoval musixx (17. 09. 2009 14:39)

Re: Relace - antisymetrie

#17 17. 09. 2009 14:44

Re: Relace - antisymetrie

Zápatí