Matematické Fórum

Skrytý text:

Očíslujme si pevně páry čísly 1, ..., n.  Množina bude množina všech permutací, kde pár s číslem i sedí vedle sebe.  Když máme 2n židlí, tak můžeme ten jeden pár usadit 4n * (2n - 2)! způsoby.  (Nebo ne?  U permutace nám přece na pořadí záleží -- když je to "jen zrotované", tak je to jiná permutace...)  Množina všech špatných permutací tedy je .  Její velikost spočítáme pomocí principu inkluze a exkluze -- potřebujeme ale vědět velikosti všech možných průniků.  Počet permutací, kde dva páry sedí vedle sebe, je 8n(2n - 2)(2n - 4)! -- 2*2n způsobů, jakým můžu usadit jeden pár, 2(2n - 2) způsobů, jakým usadit druhý pár (dvě židličky jsou obsazené) a (2n - 4)! způsobů, jak rozsadit zbytek libovolným způsobem.  Obecně, počet permutací, kde k (libovolných) párů sedí vedle sebe, je




.

Spočítáme tedy:

A výsledek by tedy měl být .  Jestli je to výsledek správný, to přiznám, že si jist nejsem.  Ale pro n=2 mi to dává výsledek 8 a skutečně se mi povedlo nakreslit 8 rozsazení a vypadá to, že žádné další nakreslit nejde.  Ještě znova opakuju, že pootočení osazenstva okolo stolu zachovávaje vzájemné pořadí beru jako další permutaci -- řekněme, že židličky jsou očíslované.

Nu -- pokud v tom někdo vidí chybu, tak ať se ozve.  Pokud má někdo nápad, jak tu sumičku upravit do hezčího tvaru, tak nechť se též ozve.