Matematické Fórum

Nell · 08. 10. 2009 12:33

Při přípravě jsem narazil na tyhle příklady a nevim co s nima.

1) Určete pro které hodnoty proměnné x e R je tečna křivky y=(x*(x+1))/(2x-1) rovnoběžná s osou 2. kvadrantu? Napište rovnici této tečny.
2) Číslo 100 rozdělte na dvě čísla tak, aby jejich součin byl co největší (použijte extrémy funkcí).
Jak to vypočítat z hlavy vým, ale jak k tomu použít ty extrémi funkcí nemam ponětí.

Díky za jakoukoli radu.

Tychi · 08. 10. 2009 12:40

ad 2)
Předpokládám, že máme číslo 100 rozdělit na součet dvou čísel, tedy $100=x+y$ .
Máme maximalizovat jejich součin, čili funkci $x\cdot y=x\cdot(100-x)$
Hledáme tedy extrém této funkce, proto funkci zderivujeme a derivaci položíme rovnu nule
$(x\cdot(100-x))'=100-2x=0$
vyjádříme x, dopočteme y a je hotovo.

(i když asi by se ještě mělo zjistit, jestli jsme náhodou nenašli minimum..)

Nell · 08. 10. 2009 12:49

Jak overit minimum a maximum vym. Ted este jestly by jste mi poradili s tim prvnim prikladem.

Tychi · 08. 10. 2009 12:56 — Editoval Tychi (08. 10. 2009 13:40)

↑ Nell:Sepisuju, ale nejsem si tím tak moc jistá.
$y=\frac{x(x+1)}{2x-1}$
derivace funkce nám dá směrnici tečny, o tečně víme, že má být rovnoběžná s osou druhého kvadrantu (úhel -45° jestli se nepletu)
$y'=...=\frac{2x^2-2x-1}{(2x-1)^2}=tg(-45)=-1$
vyjádříme x, vyjde mi 1 a 0
tečna má tvar $t:y=-1\cdot x+q$
$1=f(1)=-1+q$ ..vypočteš q a máš jednu tečnu
$0=f(0)=1+q$ ..vypočteš q a máš druhou tečnu

proč jsou dvě nevím, nějak momentálně nemám myšlenky na podmínky a tak..Rumburak níže to vysvětluje(o:
Stačí to takhle?

Rumburak

Vezmu to poněkud obecně:
Dvě přímky o rovnicích $y = kx + q$ , $y = lx + r$ jsou rovnoběžné právě tehdy, když $k = l$ .

Osa 2. kvadrantu má rovnici $y = -x$ , takže s ní rovnoběžné přímky jsou právě takové, jejichž rovnici lze zapsat ve tvaru $y = -x + q$ .
Koeficient $k$ v rovnici $y = kx + q$ se nazývá směrnicí dané přímky.
Předpokládejme, že křivka o rovnici $y=f(x)$ má ve svém bodě [u, v] tečnu, která NENí rovnoběžná s osou y. Potom směrnicí této tečny
je hodnota $f'(u)$ . Má-li tato tečna být rovnoběžná s osou 2. kvadrantu, je nutné a stačí, aby $f'(u) = -1$ .

Odtud plyne směr dalšího postupu.

Rumburak

↑ Tychi:
Mělo vvjít $y'=...=\frac{2x^2-2x-1}{(2x-1)^2}$ , kořeny rovnice $\frac{2x^2-2x-1}{(2x-1)^2}=-1$ mi vyšly 0, 1.

Dva jsou proto, poněvadž na dané křivce y = f(x) existují dva body, v nichž tečna má požadovanou vlastnost, a sice body [0, f(0)], [1, f(1)].

Tychi · 08. 10. 2009 13:36

↑ Rumburak: jasně, vidím to, zapomněla jsem tu malou dvojčičku opsat. Chybu uznávám. Jdu to editem opravit

Nell · 08. 10. 2009 20:17

Mohl by mi to někdo dopočítat? Protože mě vyšla akorát jedna rovnoběžke s tečnou, ale měli by být 2x.

KennyMcCormick · 08. 10. 2009 20:22

↑ Nell:
1. Zderivuj funkci.

2. Výsledek prolož rovnej -1 a vyřeš rovnici o jedné neznámé x.

3. Vyjde ti 0 a 1.

4. Dosadíš zpět do rovnice funkce ze zadání a dostaneš dva výsledky, budou to body, kde se tečna dotýká zadaný funkce.

5. Nakonec dosadíš do vzorce

, kde x nula a y nula jsou souřadnice prvního bodu dotyku, tím získáš první rovnici tečny. Pak tam dosadíš souřadnice druhého bodu dotyku a dostaneš rovnici druhé tečny.

Jasný?

Nell · 08. 10. 2009 20:53

Díky, měl jsem tam numerickou chybu. Už mi to vychází a www.wolframalpha.com to akorat potvrdil :-D

Matematické Fórum

#1 08. 10. 2009 12:33

Použití derivací slovní příklady

#2 08. 10. 2009 12:40

Re: Použití derivací slovní příklady

#3 08. 10. 2009 12:49

Re: Použití derivací slovní příklady

#4 08. 10. 2009 12:56 — Editoval Tychi (08. 10. 2009 13:40)

Re: Použití derivací slovní příklady

#5 08. 10. 2009 13:18 — Editoval Rumburak (08. 10. 2009 13:20)

Re: Použití derivací slovní příklady

#6 08. 10. 2009 13:34 — Editoval Rumburak (08. 10. 2009 13:41)

Re: Použití derivací slovní příklady

#7 08. 10. 2009 13:36

Re: Použití derivací slovní příklady

#8 08. 10. 2009 20:17

Re: Použití derivací slovní příklady

#9 08. 10. 2009 20:22

Re: Použití derivací slovní příklady

#10 08. 10. 2009 20:53

Re: Použití derivací slovní příklady

Zápatí