Matematické Fórum

jvr23 · 04. 10. 2009 16:25

Zdravim, vim ze existuje spousta softu na vypocet integralu i s postupem, ale vsechny nejak preskakuji tu cast reseni, kterou zrovna nechapu.

jde o tento integral. Zrejme se zavede substituce, ale nevim jak...

$\int\frac sqrt{x^4+x^{-4}+2}{x^3}dx$

dik za odpoved

jelena · 04. 10. 2009 17:18

↑ jvr23:

Zdravím, já bych provedla takovou úpravu (odmocňovat lze bez zápisu absolutní hodnoty, jelikož i po odmocnění dostávám kladné číslo - snad jsem něco nepřehledla)

$\int\frac sqrt{x^4+x^{-4}+2}{x^3}dx=\int\frac sqrt{x^8+1+2x^4}{x^2\cdot x^3}dx=\int\frac{sqrt{(x^4+1)^2}}{x^5}dx=\int\frac{x^4+1}{x^5}dx=\nl=\int\frac{x^4}{x^5}dx+\int\frac{1}{x^5}dx=\int\frac{1}{x}dx+\int x^{-5}dx$

Může být?

jvr23 · 04. 10. 2009 18:00

jo dik. To by me v zivote nenapadlo...

jvr23 · 05. 10. 2009 13:18 — Editoval jvr23 (09. 10. 2009 16:13)

kdyz tady mam rozjete tema tak se jeste na neco dovolim zeptat. Jde o jednoduchy integral
$\int\frac{1}{x^2+4}dx$

jde vyresit napr substituci $x=2t$ , kdy vysledek je $\frac{1}{2}arctg(\frac{x}{2})+c$

Jenomze kdybych ho chtel vyresit jen algebraicky, delal bych to asi takto
$\int\frac{1}{x^2+4}dx=\int\frac{\frac14}{\frac{x^2}{4}+1}dx=\frac 14\int\frac{1}{(\frac x2)^2+1}dx=\frac14 arctg(\frac x2) + c$

nejak mi neleze do hlavy kde delam chybu...

edit : (napad po ceste do hospody) pro ty nechapave jako jsem ja, kdyz integruju funkci kde je polovicni argument, musim taky upravit argument v diferencialu a vyrusit konstantu tzn.
$\frac 14\frac 21\int\frac{1}{(\frac x2)^2+1}d\frac x2$

coz dava $\frac{1}{2}arctg(\frac{x}{2})+c$

Tychi · 05. 10. 2009 13:26

chyba je v tom, že poslední integrál není roven arctg(x/2), ale 2arctg(x/2)
Pokud to nevidíš, tak je potřeba zavést si substituci x/2=t

jvr23 · 09. 10. 2009 16:23

Zdravim vsechny,

Dostal jsem se opet k zapeklitemu integralu (teda aspon pro me :)). Jak to upravit abych nemusel pouzivat t=tg x/2 atd. ...Pac me pak vyjde monstrozni racionalni funkce. Dik za rady. Jde o :

$\int \frac {sin(x)}{sin^3(x) + cos^3(x)}dx$

Chrpa · 09. 10. 2009 18:49

↑ jvr23:
Zkus substituci $\rm{tg}x=t$

Marian · 10. 10. 2009 10:24

↑ jvr23:
Včera jsem se zdržel reakce na toto téma, neboť jsem si nebyl jistý jinou možností postupu, než je Chrpou navrhovaná substituce. Výsledek jsem si nechal vypočítat v Maple 9.5 a nedošel jsem zásadní změny při návrhu řešení. V tom mě navíc podporuje i nahlédnutí do Děmidovičovy sbírky Sbornik zadač ..., kde se uvedená úloha nachází v mém vydání pod číselm 2034. Před touto úlohou je vyznačena zrovna substituce tan(x)=t, což napovídá, že schůdnější cestu těžko hledat.

Přikláním se tedy k téže substituci.

jvr23 · 11. 10. 2009 17:32

Souhlasim. Substituce tg x =t je v danem pripade nejschudnejsi.

jvr23 · 12. 10. 2009 17:14

Mam spocitat urcity integral od 0 do pi/4. Vubec nevim jak mam urcit primitivni funkci k

$\int \frac {sin (x) - cos (x)}{sin(x) - 2sin^3(x)}dx$

pro t=tgx/2 zase vychazi neprijemny zlomek.

Nemohl by mi nekdo nastinit jak to upravit pro substituci t=tg x ?

diky

Tychi · 12. 10. 2009 17:29

Pomůže tohle? Zadej funkci, postupuj, dopočítávej..

jvr23 · 12. 10. 2009 18:09

Zdravim. Jo to pouzivam. Jenomze tady kdyz zadam substituci t=tg x tak mi to spocita diferencial a nejak to dosadi do puvodni funkce a rovnou vyplivne 1/polynom 2.radu s promennou t. Ale ja vubec nevim jak to vzniklo...

Ja proste nevim jak predelat tu funkci aby tam byly argumenty jenom pod tangens... Pak je mi to jasne samozrejme.

Tychi · 12. 10. 2009 18:24 — Editoval Tychi (12. 10. 2009 18:27)

$\int \frac {sin (x) - cos (x)}{sin(x) - 2sin^3(x)}dx=\int \frac{\cos x\cdot(\tan x-1)}{\cos x\cdot(\tan x-2\tan x \cdot\sin^2 x)}dx=\int \frac{\tan x-1}{\tan x-\tan x \cdot\sin^2 x-\tan x+\tan x \cos^2 x}dx=$
$=\int \frac{\tan x-1}{\tan x \cdot(-\sin^2 x+\cos^2 x)}dx=\int\frac{-1}{\tan x\cos^2{x}(1+\tan x)}dx$

$\frac{1}{cos^2 x}dx=dt$

.. takže se nám ten cos^2 ve jmenovateli hodí..

Chrpa · 12. 10. 2009 18:30 — Editoval Chrpa (12. 10. 2009 18:31)

↑ jvr23:
$\int\frac{\sin x-\cos x}{\sin x-2\,\sin^3 x}$ substituce $\rm{tg} x=t\,\Rightarrow\,dx=\frac{1}{1+t^2}$
$\sin x=\frac{t}{1+t^2}\nl\cos x=\frac{1}{1+t^2}$
$\int\frac{\sin x-\cos x}{\sin x-2\,\sin^3 x} dx=\int\frac{\frac{t-1}{1+t^2}}{\frac{t}{1+t^2}-\frac{2t^3}{\left(1+t^2\right)^3}} dt=\cdots\,\cdots\,=\int-\frac{1}{t^2+t} dt$ rozklad na parciální zlomky:
$\int-\frac{1}{t^2+t} dt=-\int\frac 1t dt+\int\frac{1}{1+t} dt=\ln|t+1|-\ln|t|+C$
Vratka k substituci a dostaneme:
$\int\frac{\sin x-\cos x}{\sin x-2\,\sin^3 x}=\ln|\rm{tg} x+1|-\ln|\rm{tg} x|$ dosadit meze a dopočítat určitý integrál

Tychi · 12. 10. 2009 18:34 — Editoval Tychi (12. 10. 2009 18:40)

↑ Chrpa: Prosím mohl bys pro mě rozepsat ty tečky? Taky jsem to tak zkoušela, ale někde mám asi nějakou botu a nemůžu ji najít, nevyjde mi to co má, i když v mém předchozím postupu mi to evidentně vyšlo(o:

beru zpět, ztratila se mi jedna malá dvojčička..už jsem ji našla.

Chrpa · 12. 10. 2009 18:42

↑ Tychi:
Já Ti to rozepíši později.
Byl jsem odvolán od stroje na sušení švestek. (vypeckovat, rozložit na sušičku a zapnout).

Ivana · 12. 10. 2009 18:46

↑ Chrpa: Zdravím :-) a já myslela, že muži chtějí švestky jenom v kapalném stavu :-)

Chrpa · 12. 10. 2009 19:50

↑ Ivana:
Zdravím:)
Já mohu v obojím.

jvr23 · 12. 10. 2009 20:45

Diky moc.

Jeste mam takovy maly dotaz. Kdyz pocitam nejaky urcity integral pomoci substituce tak klasicky prepocitam meze a zpatky za promennou (treba t) nedosazuju x. Rovnou za t dosadim prepocitane meze. Ale muzu treba zpatky za t dosadit "x" (tim myslim cely vyraz s x) a dopocitat integral podle puvodnich mezi? Ponevadz u jednoho prikladu kdyz prepocitam meze kvuli substituci, zintegruju a dosadim prepocitane meze, tak jedna mez mi nedava smysl (zlomek ma 0 ve jmenovateli).

Tychi · 12. 10. 2009 21:02

Já to vždycky vracela do x, protože to bylo jednodušší než přepočítávat dvě meze.

Matematické Fórum

#1 04. 10. 2009 16:25

Neurcity integral

#2 04. 10. 2009 17:18

Re: Neurcity integral

#3 04. 10. 2009 18:00

Re: Neurcity integral

#4 05. 10. 2009 13:18 — Editoval jvr23 (09. 10. 2009 16:13)

Re: Neurcity integral

#5 05. 10. 2009 13:26

Re: Neurcity integral

#6 09. 10. 2009 16:23

Re: Neurcity integral

#7 09. 10. 2009 18:49

Re: Neurcity integral

#8 10. 10. 2009 10:24

Re: Neurcity integral

#9 11. 10. 2009 17:32

Re: Neurcity integral

#10 12. 10. 2009 17:14

Re: Neurcity integral

#11 12. 10. 2009 17:29

Re: Neurcity integral

#12 12. 10. 2009 18:09

Re: Neurcity integral

#13 12. 10. 2009 18:24 — Editoval Tychi (12. 10. 2009 18:27)

Re: Neurcity integral

#14 12. 10. 2009 18:30 — Editoval Chrpa (12. 10. 2009 18:31)

Re: Neurcity integral

#15 12. 10. 2009 18:34 — Editoval Tychi (12. 10. 2009 18:40)

Re: Neurcity integral

#16 12. 10. 2009 18:42

Re: Neurcity integral

#17 12. 10. 2009 18:46

Re: Neurcity integral

#18 12. 10. 2009 19:50

Re: Neurcity integral

#19 12. 10. 2009 20:45

Re: Neurcity integral

#20 12. 10. 2009 21:02

Re: Neurcity integral

Zápatí