Matematické Fórum

byk7 · 14. 10. 2009 06:48

Dobré ráno,

dokažte, že platí:
$1^3+3^3+5^3+...+(2n-1)^3=n^2(2n^2-1)$

Nevím, vůbec, jak to mám řešit,
napadlo mě pomocí obrázku, ale vůbec nemám představu jak.

Díky

marnes · 14. 10. 2009 07:37

↑ byk7:Použij matematickou indukci

Marian · 14. 10. 2009 08:48

↑ byk7:
Toto téma nepatří ovšem do sekce pro klasickou ZŠ-matematiku.

↑ marnes:
S poznámkou o indukci ovšem souhlasím, i když to není jediná možná cesta.

byk7 · 14. 10. 2009 10:38 — Editoval byk7 (14. 10. 2009 10:43)

No, tak potom se omlouvám, ale našel jsem to zde (Úloha č.2), a Pikomat pro ZŠ určen je. Ještě jednou se omlouvám.

P.S.: Už to proběhlo.

martanko

↑ Marian: zdravim :) tiez som si uz vsimol ze nechodi asi do obycajnej zakladnej skoly

↑ byk7: tak ta trochu popostrcim...

musis vediet nieco z teorie sum, aby si vedel pracovat s dokazom

$S_n^{(1)}=1+2+...+n \nl S_n^{(2)}=1^2+2^2+...+n^2 \nl \nl .\nl .\nl .\nl S_n^{(p)}= 1^p+2^p+...+n^p \nl$
Predovsetkym uz vieme, ze $S_n^{(1)}=\frac{1}{2}n(n+1)$ . Sumu $S_n^{(2)}$ urcime tak, ze do identity $(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1$ dosadime za $x$ postupne cisla $n, n-1, ..., 2, 1$ . Dostaneme:

$(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1 \nl n^3 = (n-1)^3+3(n-1)^2+3(n-1)+1 \nl (n-1)^3=(n-2)^3+3(n-2)^2+3(n-2)+1 \nl .\nl .\nl .\nl 3^2=2^3+3.2^2+3.2+1 \nl 2^3=1^3+3.1^2+3.1+1$
Po scitani tychto rovnosti dostaneme (vsimneme si ze kazdy z clenov $n^3, ..., 3^3, 2^3$ sa nachadza vlavo aj vpravo, teda tieto cleny sa vyrusia):

$(n+1)^3=1^3+3.(1^2+2^2+...+n^2)+3.(1+2+...+n)+n$ , takze

$(n+1)^3=1+3.S_n^{(2)}+3.S_n^{(1)}+n$ , odkial dostavame

$3S_n^{(2)}=(n+1)^3-(n+1)-\frac{3}{2}n.(n+1)=(n+1).\left((n+1)^2-1-\frac{3}{2}n \right) =(n+1). \left(n^2+2n+1-1- \frac{3}{2}n \right) = (n+1). \left( n^2+ \frac{1}{2}n \right) = (n+1). \frac{2n^2+n}{2} \nl = \frac{1}{2}n(n+1)(2n+1)$ ,

a teda

$S_n^{(2)}=1^2+2^2+3^2+...+n^2= \frac{1}{6}(n+1)(2n+1)$ .
Sumu $S_n^{(3)}=1^3+2^3+....+n^3$ vypocitame podobne. Zacneme s identitou
$(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$ a vyuzijeme uz zname vztahy pre $S_n^{(1)}$ a $S_n^{(2)}$ , kde vyjde ze $S_n^{(3)}= \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$ alebo ako mas ty napisane $n^2(2n^2-1)$

Pavel Brožek · 14. 10. 2009 20:24

↑ martanko:

Není mi jasné, jak se od $S_n^{(3)}= \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$ dostaneme k $n^2(2n^2-1)$ . Chybí mi tam asi toto (hledaný výraz označím $x(n)$ ):

$S_{2n-1}^{(3)}= 1^3+2^3+3^3+\ldots+(2n-1)^3=x(n)+2^3+4^3+\ldots+(2n-2)^3=\nl =x(n)+2^3(1^3+2^3+3^3+\ldots+(n-1)^3)=x(n)+8S_{n-1}^{(3)}$

Z toho vyjádříme x(n)

$x(n)=S_{2n-1}^{(3)}-8S_{n-1}^{(3)}=\ldots=n^2(2n^2-1)$

martanko · 14. 10. 2009 20:33

↑ BrozekP:
priznam sa ze na teorii funkci som sa stretol s vyjadrenim ktore som napisal ja.. no a kedze mal byk7 dokazat to iste tak sa to musi rovnat, nie?

Pavel Brožek · 14. 10. 2009 21:20

↑ martanko:

Mám pocit, že sis nevšiml, že byk7 sčítá pouze mocniny lichých čísel. Tvůj výsledek ale odpovídá sčítání mocnin lichých i sudých čísel.

martanko · 15. 10. 2009 08:57

↑ BrozekP:
mas pravdu :) videl som cisla a uz som siel ako robot :)

Pavel Brožek · 27. 03. 2010 15:44

↑ byk7:

Označil jsi téma jako nevyřešené. Která část není jasná? Příspěvky ↑ martanko: a ↑ BrozekP: dávají dohromady řešení původního problému.

byk7 · 27. 03. 2010 15:52

Ne, já se omlouvám, já jsem přidával asi tak dva týdny zpátky k tomuto tématu příspěvek a s tím i současně odznačil jako vyřešený, ale poté jsem si uvědomil, že to byla blbost a smazal ho, ale současně jsem zapomněl zpátky téma označit jako vyřešené. Omlouvám se.

byk7 · 06. 05. 2010 17:28

Tak tedy, podařilo se mi to dokázat indukcí.
Je ještě jiná cesta než navrhuje ↑ martanko:?

Matematické Fórum

#1 14. 10. 2009 06:48

Součet řady

#2 14. 10. 2009 07:37

Re: Součet řady

#3 14. 10. 2009 08:48

Re: Součet řady

#4 14. 10. 2009 10:38 — Editoval byk7 (14. 10. 2009 10:43)

Re: Součet řady

#5 14. 10. 2009 18:43 — Editoval martanko (14. 10. 2009 20:18)

Re: Součet řady

#6 14. 10. 2009 20:24

Re: Součet řady

#7 14. 10. 2009 20:33

Re: Součet řady

#8 14. 10. 2009 21:20

Re: Součet řady

#9 15. 10. 2009 08:57

Re: Součet řady

#10 27. 03. 2010 15:44

Re: Součet řady

#11 27. 03. 2010 15:52

Re: Součet řady

#12 06. 05. 2010 17:28

Re: Součet řady

Zápatí