Matematické Fórum

Dare4you · 19. 10. 2009 15:02

Zdravím má dotaz jestli jsem správně pochopil definiční obory.
příklad a] $y=\sqrt{2^x -4}$
příklad b) $y=ln(3-2x-x^2)$
příklad c) $y=arcsin \frac{2x-3}5$

vyšli mi definiční obory
a)R-
b)R+ bez 1
c)<-1;1>

díky za pomoc mám takovej pocit, že to mám špatně.

Rumburak

Tvůj pocit, že je to špatně, je správný. :-)

K příkladu a] :
Ptáme se, pro která reálná x je definováno $\sqrt{2^x -4}$ (jako reálná funkce). Je potřeba si především uvědomit,
za jakých podmínek je definováno $\sqrt{u}$ - odpověď na tuto pomocnou otázku je "pro $u \ge 0$ ". Do této dpovědi
dosadíme $u = 2^x -4$ a dostaneme tak nerovnici $2^x -4 \ge 0$ , jejmž řešením je $x \ge 2$ , což dává odpověď
na hlavní otázku této úlohy.

Obdobným způsobem se postupuje i v ostatních uvedených úlohách.

halogan · 19. 10. 2009 15:17

A) Zkus třeba x = 3.
B) Zkus x = -2
C) Zkus x = 4

---

Vysvětlení napíšu večer, pokud mě teda někdo nepředběhne, což asi ano.

Pěkný den přeji.

Tychi · 19. 10. 2009 15:23

↑ Dare4you: Přijde mi, žes našel obory hodnot místo definičních oborů.

Dare4you · 19. 10. 2009 15:28

↑ Rumburak:

je malou chybku sem udělal je to 2 na -x ne na +x teďka na to koukám

Rumburak · 19. 10. 2009 15:51

↑ Dare4you: Pro výše uvedený postup řešení to není rozhodující, pouze je třeba příslušným způsobem upravit výrazy,
jichž se chyba týká (a výsledek tím pádem také bude jiný).

Dare4you · 22. 10. 2009 07:08

↑ Rumburak:
Tak sem čekal na to vysvětlení ale asi nepřijde :( pořád nevim jestli tomu správně rozumin. např. u arsin je definiční obor <-1;1> takže když dostanu hodnotu mimo tenhle obor co se stane? píšu ho nebo nemá řešení či jak?

Rumburak

↑ Dare4you:
Tak si tu metodu předvedeme ještě jednou a o něco podrobněji na tu funkci $f(x) = \arcsin \,\frac{2x-3}5$ .

Určit definiční obor funkce znamená určit podmínky na proměnnou (resp. proměnné, pokud jde o fci více proměnných) tak, aby se
při jejich splnění nemohlo stát, že do výrazu definujícího funkci příjde hodnota, pro kterou by ten výraz neměl smysl. Při tom se snažíme
stanovit tyto podmínky tak, aby jejích přísnost nebyla zbytečně velká (zbytečně velká přísnost by například byla, kdybychom zakázali
reálná čísla dělit jiným dělitelem než celočíselným kladným - takovéto dělení by bylo velmi názorné, ale dokázali bychom jím řešit jen
velmi omezený okruh úloh).

Hledáme-li definiční obor složitější funkce, musíme si nejprve uvědomit, jakým způsobem je poskládána z funkcí jednodušších.
V našem případě máme

$f(x) = \arcsin \,g(x)$ , kde $g(x)= \frac{2x-3}5$ .

Na funkci f je tedy možno nahlížet jako na funkci, která je složena z funkcí g , arcsin, přičemž g zde hraje roli funkce vnitřní,
zatímco arcsin zde figuruje jako funkce vnější.

Při určování definičního oboru složené funkce číníme vlastně to, že spojíme definiční podmínky na vnější funkci s definičními podmínkami
na vnitřní funkci, neboť aby mohl být definován celek, musí být definována každá část tohoto celku.
Bývá výhodné začít u vnější funkce , jíž je v našem případě arcsin . Jejím definičním oborem je, jak správně píšeš, interval <-1;1>.
To znamená:

Aby bylo definováno arcsin t , musí číslo t patřit do def. oboru fce arcsin, tedy do výše uvedeného intervalu <-1;1>.

Tento poznatek dále rozvineme:

Aby bylo definováno arcsin g(x), musí být definováno g(x) a zároveň musí g(x) patřit do def. oboru fce arcsin,
tedy do výše uvedeného intervalu <-1;1>.

Tedy

Aby bylo definováno arcsin g(x), musí být definováno g(x) a splněna nerovnost

(2) $-1\le g(x)\le 1$ .

Tím jsme se dostali o patro níže - k funkci $g(x)= \frac{2x-3}5$ , do jejíhož definičního oboru však patří všechna reálná čísla, takže od funkce g
již další podmínky nevzniknou. K dokončení úlohy tedy stačí vyřešit nerovnici (2), tj.

$-1\le \frac{2x-3}5\le 1$ ,

což je úloha, kterou snad již možno považovt za snadnou.

POZNÁMKA.
Pokud i funkce g by byla složená z nějakých dalších funkcí, které by vyžadovaly diskusi o jejich definičním oboru,
postupovali bychom obdobně jako výše. Takto vzniklé dílčí podmínky od různých funkcí bychom pak dali do konjunkce.

Dare4you · 22. 10. 2009 11:03

↑ Rumburak:

už sem v obraze díky moc :D

adjamot · 24. 10. 2009 13:31

ln(y)+x>0 a co Df této funkce???

Oxyd · 24. 10. 2009 14:27

adjamot napsal(a):
ln(y)+x>0 a co Df této funkce???

To není funkce ale nerovnice.

adjamot · 24. 10. 2009 14:41

↑ Oxyd: celá funkce vypadá takto z=3-7 ln(x+ln(y)) tedy zkrácené, kdy je ln(y)+x>0 .....pro korektní zápis

Oxyd · 24. 10. 2009 15:09

↑ adjamot:
Myslim, že s tim se toho moc dělat nedá. Hned z toho dostaneš, že y > 0, a pak taky, že x < -ln(y). Takže $D(f) = \{ [x;\, y] \in \mathbb{R}^2 \;:\; y > 0 \, & \, x < -\ln y \}$ .

adjamot · 24. 10. 2009 15:24

D(f)= {[x,y] ∈ E2,y>e^-x }, toto je výsledek, ale proč???

Oxyd · 24. 10. 2009 16:01

↑ adjamot:

To je ekvivalentní.

Když máme $\ln y > -x$ , tak můžeme na obě strany aplikovat funkci exp a dostaneme $y > \exp (-x)$ . No jenže exp má obor hodnot (0; oo), takže důsledkem téhle nerovnosti je i to, že y > 0, čímž se ošetří i ten vnitřní logaritmus.

adjamot · 24. 10. 2009 16:49

↑ Oxyd: díky

Matematické Fórum

#1 19. 10. 2009 15:02

Definiční obor fce

#2 19. 10. 2009 15:15 — Editoval Rumburak (19. 10. 2009 15:22)

Re: Definiční obor fce

#3 19. 10. 2009 15:17

Re: Definiční obor fce

#4 19. 10. 2009 15:23

Re: Definiční obor fce

#5 19. 10. 2009 15:28

Re: Definiční obor fce

#6 19. 10. 2009 15:51

Re: Definiční obor fce

#7 22. 10. 2009 07:08

Re: Definiční obor fce

#8 22. 10. 2009 09:20 — Editoval Rumburak (22. 10. 2009 12:55)

Re: Definiční obor fce

#9 22. 10. 2009 11:03

Re: Definiční obor fce

#10 24. 10. 2009 13:31

Re: Definiční obor fce

#11 24. 10. 2009 14:27

Re: Definiční obor fce

adjamot napsal(a):

#12 24. 10. 2009 14:41

Re: Definiční obor fce

#13 24. 10. 2009 15:09

Re: Definiční obor fce

#14 24. 10. 2009 15:24

Re: Definiční obor fce

#15 24. 10. 2009 16:01

Re: Definiční obor fce

#16 24. 10. 2009 16:49

Re: Definiční obor fce

Zápatí