Matematické Fórum

Cermix · 05. 11. 2009 08:20 — Editoval Cermix (05. 11. 2009 08:22)

V jednom příkladu
$a_n=\frac1{n(n+2)}$
jsem viděl rozložení na parciální zlomky (měla být vyšetřena kovergence řady)
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n(n+2)}$
$\frac1{n(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2}$
$1=An+2A+Bn$ -- tomuhle ještě rozumím
$A+B=0$
$2A=1$ ale tomuhle už ne. Rovnice by vyhovovala přece i kdybych za A dosadil nulu a za B jedna. nevím jak vznikly rovnice A+B=0 a 2A=1. Já o parciálních zlomcích toho nevím fakticky nic.. ale nechápu, proč je tam A+B=0 může mi to někdo prosím vysvětlit?

u_peg · 05. 11. 2009 09:21

Mas tam $1 = An + 2A + Bn = n(A+B) + 2A$
Nic sa na tom nezmeni, ked k lavej strane pripocitam nulu. Teda: $0\cdot n + 1 = n(A+B) + 2A$
Tieto dva vyrazy su rovne vtedy ked maju pri rovnakych mocninach premennej n rovnake koeficienty. Teda musi platit:
$0 = A + B$
$1 = 2A$

Cermix · 05. 11. 2009 09:28

↑ u_peg:
takže
$0n=n(A+B)$
a
$2A=1$
prostě to první na levé straně se rovná tomu prvnímu na pravé straně a to druhé na levé straně se rovná domu druhému na pravé straně? (tím prvním a druhým myslím samozřejmě první a druhý výraz)

Rumburak

Rovnice
(1) $1=An+2A+Bn$ (A, B jsou neznámé)

má být splněna pro všechna n .
To bude zajištěno, když tato rovnice bude splněna alespoň pro dvě různé honoty n.
Dosadím do ní nejprve n = 1 a dostanu $1=A+2A+B$ ,
dosazením n = 2 pak dostanu $1=2A+2A+2B$
a mám soustavu 2 rovnic o 2 neznámých, kterou vyřeším.

Kdybych dosadil do (1) A = 0 , B = 1 , vyjde z toho $1= n$ , což pro všechna n určitě neplatí :).

JINÝ ZPŮSOB, jak to řešit:
Rovnici (1) upravím na tvar

(2) $1=(A + B)n+2A$ .

Zde levá strana nezávisí na n , proto ani pravá strana nesmí záviset na n, odtud $A + B = 0$
a dosadíme-li to zpětně do (2), obdržíme $1 = 2A$ .