Matematické Fórum

tob · 11. 11. 2009 18:05

Mam takový problém s příkladem:

V aritmetické posloupnosti určete sučet prvních osmi členů, jestliže platí:

$a_1_4:a_4 = 16$
$2a_2-a_1+1=0$
difference mi vyšla -3 a a_1 5 , ale jak mam ted zjistit součet prvních 8 členů? podle vzorce S_n jsem to dělal, ale nějak to nevychází, nebo nevim jak S_8 mi vychází =52-12_n a co s tim ted? Děkuji za odpověď........ jo a má to vyjít 28,, ale potřeboval bych zjistit jak na to....

septolet

Součet prvních n členů se spočítá podle vzorce: S_n = n/2 * (a_1 + a_n). Kde n je počet členů, a_1 je hodnota prvního členu, a_n je hodnota posledního členu. Pokud tedy máš a_1 a d stačí dosadit do vzorce (a_n můžeš vyjádřit pomocí a_1 a d).

tob · 11. 11. 2009 18:21

↑ septolet: když si vyjádřim a_n tak to mi výjde a_n=8-3n a když to dám potom do vzorce , tak mi to výjde S_8= 52 - 12_n .

tob · 11. 11. 2009 18:33

ale furt to neni 28 .. prosím pomozte mi někdo....

septolet

Ano, to máš dobře spočítané. Diference vyjde -3, a_1 = 5 a a_n = 8 - 3n. Teď to dosaď do toho vzorce pro součet prvních n členů jak jsem psal o kousek výše.

EDIT: Součet prvních 8 členů skutečně vyjde -44, jak si už psal. Řekl bych tedy, že si to spočítal správně.

tob · 11. 11. 2009 18:42 — Editoval tob (11. 11. 2009 18:43)

↑ septolet: no to jsem právě udělal, ale vyšlo mi $S_8=52-12_n$

ale ve výsledku vyjde 28

septolet

Ano. V tomto případě se n = 8, protože počítáš součet prvních 8 členů. Jednou si za n už 8 správně dosadil (S_8), tak to udělej i podruhé. Jinak to není n jako index, ale jako proměnná, čili počítáš S_8 = 58 - 12*8.

tob · 11. 11. 2009 18:49

↑ septolet:
jj už mi to taky vychází -44 , ale nechápu, proč ve výsledkách v knížce píšou, že to výjde 28 ....

septolet

Řekl bych, že to mají špatně. Navíc jen tak od oka to ani nemůže vyjít (S_8) kladné číslo.

tob · 11. 11. 2009 18:54

ok, tak díky

tob · 11. 11. 2009 19:03

Mam tu ještě další příklady se kterym si nevim rady, kdyby se někomu chtělo... (vůbec nevim co s tim) :(

a)Určete součet prvních 200 přirozených čísel

b) Určete součet všech lichých přirozených čísel menších než 100

septolet

Opět budeme dosazovat do vrozečku uvedeném v mém prvním příspěvku v tomto vlákně.

a) První přirozené číslo je 1 (a_1), poslední (200.) je 200 (a_200), dosaď to do toho vzorečku (n = 200) a vyjde 20100.

b) Lichých čísel menších než 100 je 50 (n). Je to každé druhé číslo. První liché je 1 (a_1), poslední liché menší než 100 je 99(a_50). Opět dosadíš do toho vzorečku a vyjde 2500.

tob · 11. 11. 2009 19:15

↑ septolet: děkuju moc :)

septolet · 11. 11. 2009 19:19

Nemáš zač :)

tob · 11. 11. 2009 20:13

Posloupnost je dána vztahem $a_n=2n+3$ . Určete rozdíly :
(stačilo by, kdyby jste mi někdo vypočítal první a poslední... abych věděl jak na to ... díky...
a) $a_2 - a_1$
b) $a_8 - a_7$
c) $a_k_+_1-a_k$
d) $a_k_+_4 - a_k_+_3$

Je daná posloupnost aritmetická?

Chrpa · 11. 11. 2009 20:31

↑ tob:
Dosadíš do předpisu a dostaneš:
Předpis
$a_n=2n+3$
První člen
$a_1=2\cdot 1+3=5$
$a_2=2\cdot 2+3=7$
a) $a_2-a_1=7-5=2$
Zjistíme, zda je posloupnost aritmetická - vypočteme ještě třetí člen
$a_3=2\cdot 3+3=9$
$a_3-a_2=9-7=2$
Je to posloupnost aritmetická s diferenci $d=2$
Teď už můžeme určit i případy b), c), d)
b) $a_8-a_7=2$ rozdíl dvou následujících členů je difrence d
c) $a_{k+1}-a_k=2$
d) $a_{k+4}-a_{k+3}=2$

tob · 11. 11. 2009 20:57

Děkuji chrpa

Ještě tu mam příklady.... ( to je poslední co chci, zejtra píšem pís. a já se to doučuju :) a mam tu hafo příkladů.....) (všem co mi odpoví děkuju)

Určete první čtyři členy aritmetické posloupnosti, je-li dáno:

$S_n= 2n+n^2$

a

$S_n = n^2 / 4$ $-n$ (n na druhou, lomeno čtyřma , to celé -n )

a
Ulohu

Dělník vyrobí za směnu 45 součástek.
Kolik součástek by vyrobil za 20 směn, kdyby svůj výkon postupně zvyšoval každou směnu
o 2 součástky?

septolet · 11. 11. 2009 21:07

K té slovní úloze:

45 je výchozí stav, první člen posloupnosti, čili a_1.
S každou směnou vyrobí o 2 součástky více, čili diference d = 2.
Chceš vědět, kolik součástek vyrobí dohromady za 20 směn, když každou směnu vyrobí o 2 součástky více, čili použiješ opět vzoreček pro soušet prvních n členů, n je v tomto případě 20. Všechno potřebné máš, tak to zkus vypočítat. Kdyby ses někde zasekl, tak dej vědět.

Chrpa · 11. 11. 2009 21:13 — Editoval Chrpa (12. 11. 2009 10:33)

↑ tob:
Př.2)
Pro aritmetickou řadu platí: (tento příklad je aritmetická posloupnost, protože každou směnu vyrobí dělník o 2 součástky víc než směnu předcházející)
diference posloupnosti je tedy $d=2$
Pro aritmetickou řadu platí:
$a_n=a_1+(n-1)d$ - n-tý člen řady
$S_n=\frac n2\left(a_1+a_n\right)$ součet prvých n- členů aritmetické řady.
Pro náš případ:
První člen
$a_1=45\nld=2\nln=20\nla_{20}=a_1+19d\nla_{20}=45+19*2=45+38=83\nlS_{20}=\frac{20}{2}\left(45+83\right)=10\cdot 128=1280$

tob · 11. 11. 2009 21:19

jj děkuju za druhý příklad, ono to neni zas tak složitý, ale vědět jak na to ...... díky ... a jestli by jste mohli napsat ještě ten první...

septolet

$S_n= 2n+n^2$

Pokud postupně dosadíme 1, 2, 3, 4 dostaneme po řadě čísla 3, 8, 15, 24. Víme že to je aritmetická posloupnost, takže ke každému předcházejícímu číslu přičteme stejné číslo (diferenci) a dostaneme číslo následující. Součet prvního členu je 3, čili a_1 = 3. Dále platí: a_2 = a_1 + d. Pro součet prvních dvou členů platí, že je roven 8, přičemž první člen je 3, z toho je jasné, že a_2 = 5 a d = 2.

První 4 členy jsou tedy: 3, 5, 7, 9

Chrpa · 11. 11. 2009 21:27

↑ tob:
Př.1)
Je podle mne nějak divně zadán, protože pokud dám ty součty dohromady, pak
mě vychází $n=-4$ což je zjevně nesmysl. Nebo jsem Tvůj zápis příkladu špatně pochopil.
Zkus ten příklad nějak jinak - třeba slovně.

tob · 11. 11. 2009 21:42

↑ Chrpa: jej tak to se omlouvám, jsem to tam asi nesmyslně zapsal ... to jsou dva příklady, to mezi tim to a je jako další příklad..sry (takže to jsou dva příklady)

Chrpa · 11. 11. 2009 22:39 — Editoval Chrpa (11. 11. 2009 22:42)

↑ tob:
Předpis:
$S_n=\frac{n^2}{4}-n$
$S_2=\frac{2^2}{4}-2=-1$
$S_3=\frac{3^2}{4}-3=-\frac 34$ tj:
$S_4=\frac{4^2}{4}-4=0$
1) $a_1+a_2=-1\nla_1+a_2+a_3=-\frac 34\nla_1+a_2+a_3-a_1-a_2=-\frac 34+1\nla_3=\frac 14$
2) $a_1+a_2+a_3+a_4=0\nl-\frac 34+a_4=0\nla_4=\frac 34$
Dopočteme diferenci d:
$d=a_4-a_3=\frac 34-\frac 14=\frac 12$
Dopočítáme první 2 členy posloupnosti:
$a_2=a_3-d=\frac 14-\frac 12=-\frac 14\nla_1=a_2-d=-\frac 14-\frac 12=-\frac34$
Členy posloupnosti jsou:
$a_1=-\frac34\nla_2=-\frac 14\nla_3=\frac 14\nla_4=\frac 34$

PS podobně se dá počítat i ten první příklad.

Cheop · 12. 11. 2009 09:09

↑ tob:
Úplně jednoduše
Př. 1)
nevím co ten ↑ Chrpa: vymýšlel.
1a)
Předpis:
$S_n=n^2+2n$
$S_1=a_1=1^2+2\cdot 1=3$
$S_2=a_1+a_2\,\Rightarrow\,a_2=S_2-a_1\nlS_2=2^2+2\cdot 2=8$
Diference řady je: $d=a_2-a_1=S_2-a_1-a_1=8-2\cdot 3=2$
První 4 členy poslloupnosti jsou:
$a_1=3\nla_2=a_1+d=3+2=5\nla_3=a_1+2d=3+2\cdot 2=7\nla_4=a_1+3d=3+3\cdot 2=9$

1b)
Předpis
$S_n=\frac{n^2}{4}-n$
$S_1=a_1=\frac{1^2}{4}-1=-\frac 34$
$S_2=a_1+a_2\,\Rightarrow\,a_2=S_2-a_1\nlS_2=\frac{2^2}{4}-2=-1$
Diference řady je: $d=a_2-a_1=S_2-a_1-a_1=-1+2\cdot\frac 34=\frac 12$
První 4 členy poslloupnosti jsou:
$a_1=-\frac 34\nla_2=a_1+d=-\frac 34+\frac 12=-\frac 14\nla_3=a_1+2d=-\frac 34+1=\frac 14\nla_4=a_1+3d=-\frac 34+3\cdot\frac 12=\frac 34$

A je hotovo.

Matematické Fórum

#1 11. 11. 2009 18:05

Aritmetická posloupnost ......

#2 11. 11. 2009 18:16 — Editoval septolet (11. 11. 2009 18:19)

Re: Aritmetická posloupnost ......

#3 11. 11. 2009 18:21

Re: Aritmetická posloupnost ......

#4 11. 11. 2009 18:33

Re: Aritmetická posloupnost ......

#5 11. 11. 2009 18:35 — Editoval septolet (11. 11. 2009 18:40)

Re: Aritmetická posloupnost ......

#6 11. 11. 2009 18:42 — Editoval tob (11. 11. 2009 18:43)

Re: Aritmetická posloupnost ......

#7 11. 11. 2009 18:44 — Editoval septolet (11. 11. 2009 18:45)

Re: Aritmetická posloupnost ......

#8 11. 11. 2009 18:49

Re: Aritmetická posloupnost ......

#9 11. 11. 2009 18:52 — Editoval septolet (11. 11. 2009 18:52)

Re: Aritmetická posloupnost ......

#10 11. 11. 2009 18:54

Re: Aritmetická posloupnost ......

#11 11. 11. 2009 19:03

Re: Aritmetická posloupnost ......

#12 11. 11. 2009 19:08 — Editoval septolet (11. 11. 2009 19:09)

Re: Aritmetická posloupnost ......

#13 11. 11. 2009 19:15

Re: Aritmetická posloupnost ......

#14 11. 11. 2009 19:19

Re: Aritmetická posloupnost ......

#15 11. 11. 2009 20:13

Re: Aritmetická posloupnost ......

#16 11. 11. 2009 20:31

Re: Aritmetická posloupnost ......

#17 11. 11. 2009 20:57

Re: Aritmetická posloupnost ......

#18 11. 11. 2009 21:07

Re: Aritmetická posloupnost ......

#19 11. 11. 2009 21:13 — Editoval Chrpa (12. 11. 2009 10:33)

Re: Aritmetická posloupnost ......

#20 11. 11. 2009 21:19

Re: Aritmetická posloupnost ......

#21 11. 11. 2009 21:22 — Editoval septolet (11. 11. 2009 21:25)

Re: Aritmetická posloupnost ......

#22 11. 11. 2009 21:27

Re: Aritmetická posloupnost ......

#23 11. 11. 2009 21:42

Re: Aritmetická posloupnost ......

#24 11. 11. 2009 22:39 — Editoval Chrpa (11. 11. 2009 22:42)

Re: Aritmetická posloupnost ......

#25 12. 11. 2009 09:09

Re: Aritmetická posloupnost ......

Zápatí