Matematické Fórum

Ahoj, prosím o pomoc s těmito otázkami, v tomto předmětu úplně plavu a vůbec ho nepobíram :( snažím se neco vyčíst na netu ale je to marný, prosím odpověď alespoň na něco. vřelé díky..


Polynomy
1. Proč kořenový činitel dělí polynom beze zbytku.
2. Proč celočíselný kořen polynomu s celočíselnými koeficienty dělí a0.
3. Dokažte, že ke každému kořenu polynomu s reálnými koeficienty existuje kořen komplexně sdružený.
4. Proč ke každým dvěma polynomům p, q (q nenulový) je určen částečný podíl a zbytek jednoznačně?
5. Nechť má polynom an = 1 a má jen reálné nebo po dvou komplexně sdružené kořeny. Proč pak má všechny koeficienty reálné?
6. Proč polynom lichého stupně s reálnými koeficienty musí mít alespoň jeden reálný kořen?
7. Proč nemůže mít polynom stupně n více než n vzájmeně různých kořenů?
8. Proč je polynom stupně n určen jednoznačně svými hodnotami v n + 1 různých bodech?

Lineární prostor
9. Odvoďte z axiomů linearity (v definici lineárního prostoru) vlastnosti: a) x + o = x, b) αo = o pro x libovolný prvek lineárního prostoru, o nulový prvek a α∈ R.
10. Ověřte podrobně, že Rn s obvyklým +, · tvoří lineární prostor.
11. Ukažte, že množina nekonečných posloupností s + a · definovaným „po složkáchÿ tvoří LP.
12. Proč je množina všech posloupností s limitou=0 lineárním podprostorem LP všech posloupností?
13. Proč množina M = {(a, b, c, d), |a| = |b|, |c| = |d|} není podprostorem R4?
14. Zdůvodněte, proč průnik lineárních podprostorů je lineární podprostor a sjednocení lineárních pod-prostorů nemusí být lineární podprostor.

Lineární závislost, obal, báze
15. Zdůvodněte podrobně z axiomů linearity, proč triviální lineární kombinace je rovna nulovému vektoru.
16. Proč přítomnost nulového vektoru ve skupině vektorů zaručuje lineární závislost této skupiny?
17. Podrobně zdůvodněte, proč v lineárním prostoru reálných funkcí jsou funkce f, g, h dané vzorci
f(x) = sin x, g(x) = x^2 a h(x) = 1 jsou lineárně nezávislé.
18. Dokažte větu: vektory jsou lineárně závislé právě tehdy, když existuje jeden, který je lineární kombinací ostatních.
19. Předpokládejte konečnou neprázdnou lineárně závislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč přidáním vektoru k množině M vznikne lineárně závislá množina.
20. Předpokládejte konečnou aspoň dvouprvkovou lineárně nezávislou množinu vektorů M. Zdůvodněte, proč odebráním vektoru z množiny M vznikne lineárně nezávislá množina.
21. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč lineární závislost není ovlivněna pořadím vektorů.
22. Vysvětlete z definice lineární závislosti, proč skupina vektorů, v níž se nějaký vektor opakuje, jelineárně závislá.
23. Definujte lineární obal i pro nekonečné množiny. Zdůvodněte, proč z ∈ <M> právě tehdy, když existuje konečně mnoho vektorů z M tak, že z je jejich lineární kombinací.
24. Dokažte <<M>> = <M> .
25. Proč je množina vektorů M lineárním podprostorem právě tehdy, když je <M> = M?
26. Proč je lineární obal jakékoli množiny podprostor?
27. Zdůvodněte, proč je lineární obal množiny M nejmenším podprostorem, který obsahuje M.
28. Předpokládejte N lineárně nezávislou množinu a z nenáleží <M>. Dokažte, že přidáním vektoru z k N zůstává tato množina lineárně nezávislá.
29. Popište postup, jakým lze (v lineárním prostoru s konečnou dimenzí) doplnit libovolnou lineárně nezávislou množinu N na bázi.
30. Zdůvodněte, proč lze z lineárně závislé množiny M odebrat vektor tak, že lineární obal zmenšené množiny je stejný jako lineární obal původní množiny M.
31. Zformulujte (bez důkazu) Steintzovu větu o výměně a vysvětlete její využití v důkaze tvrzení, že každé dvě báze stejného lineárního prostoru mají stejný počet prvků.
32. Proč lineárně nezávislá množina vektorů nesmí mít více prvků, než dimenze lineárního prostoru těchto vektorů?
33. V lineárním prostoru L uvažujte množinu M, která má více prvků, než dimL. Proč musí být M lineárně závislá?
34. Dokažte, že pokud má množina M stejně prvků, jako je dimL, pak je lineárně nezávislá právě tehdy, když <M> = L.
35. Zdůvodněte, proč množina {1, x, x^2, x^3, . . .} tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů.
36. Podrobně zdůvodněte, proč množina polynomů {x^2+1, x, x−1} tvoří bázi lineárního prostoru všech polynomů nejvýše druhého stupně.

Matice
37. Proč matice typu (m, n) tvoří lineární prostor? Jakou má tento prostor dimenzi?
38. Proč GEM nemění lineární obal řádků?
39. Jak GEM slouží k výpočtu hodnosti matice? Popište metodu a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně počítá hodnost matice.
40. Popište metodu ověření lineární závislosti vektorů z Rn eliminací matice, ve které jsou tyto vektory zapsány po řádcích. Jak tato metoda souvisí s definicí lineární závislosti?
41. Definujte maticové násobení. Proč čtvercová matice A komutuje s A2?
42. Dokažte asociativitu maticového násobení.
43. Dokažte asociativitu maticového násobení a maticového násobku.
44. Zdůvodněte, proč maticové násobení nemusí být komutativní ani pro čtvercové matice.
45. Proč má horní trojúhelníková matice linárně nezávislé řádky?
46. Zdůvodněte, proč matice komutující s pevně danou maticí tvoří lineární podprostor.
47. Proč je součin regulárních matic regulární?
48. Čím je zaručena jednoznačnost inverzní matice?
49. Popište metodu výpočtu inverzní matice eliminací a zdůvodněte, proč tato metoda skutečně dává inverzní matici.
50. Vynásobíme-li matici A regulární maticí, pak se matice A může změnit, ale nezmění se její hodnost. Proč?
51. Co víme o hodnosti součinu matic, když známe hodnosti jednotlivých činitelů? Zdůvodněte.

Determinant
52. Definice determinantu.
53. Zdůvodněte z definice základní vlastnosti determinantu.
54. Proč přičtení násobku řádku k jinému nezmění hodnotu determiantu?
55. Formulujte (bez důkazu) větu o rozvoji determinatu podle řádku/sloupce.
56. Z věty o determinantu součinu odvoďte vzorec pro determinant inverzní matice.
57. Zformulujte a dokažte větu na výpočet inverzní matice pomocí doplňků.


Soustavy lineárních rovnic
58. Frobeniova věta, přesná formulace, význam, důkaz.
59. Definice pojmu řešení soustavy lineárních rovnic.
60. Proč množina řešení homogenní soustavy lineárních rovnic tvoří lineární podprostor?
61. Nechť v je jedno řešení soustavy lineárních rovnic. Proč všechna ostatní řešení této soustavy jsou ve tvaru součtu v + u, kde u je nějaké řešení homogenní soustavy přidružené k dané soustavě?
62. Zformulujte a dokažte Cramerovu větu.
63. Nechť M = v+<u1, . . . ,uk>  , M′=v' + <u′1, . . . ,u′k> . Navrhněte a zdůvodněte postup, podle kterého poznáte, že M = M′.
64. Jakou dimenzi má prostor řešení homogenní soustavy lineárních rovnic a proč?

Konečná dimenze
65. Definujte pojem souřadnice vzhledem k uspořádané bázi. Zdůvodněte existenci a jednoznačnost souřadnic.
66. Proč jsou souřadnice polynomu vzhledem ke standardní bázi lin. prostoru polynomů nejvýše n-tého stupně rovny koeficientům tohoto polynomu?
67. Proč jsou souřadnice vektoru z Rn vzhledem ke standardní bázi rovny složkám tohoto vektoru?
68. Proč je zobrazení, které vektorům přiřadí uspořádanou n-tici jejich souřadnic vzhledem k pevně zvolené bázi, lineární?
69. Definujte spojení dvou podprostorů. Čemu je rovnen součet dimenzí spojení a průniku dvou podprostorů?