Matematické Fórum

↑ Wotton:
To teda neviem. To bola domaca uloha takto zadana. Nic viac k tomu nebolo...

↑ kitchima:
Pro reálná čísla by to šlo sporem.
Předpokládej, že , a . Pak . Spor.

↑ kitchima:
Prosiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiim, pomozte mi este s tymto dokazom. Dakujem

↑ kaja(z_hajovny):
Nie, asi som uplne blba, ale nemam vlastny napad. Dokazy mi jednoducho nejdu. Vobec neviem, co tam mam robit. Preto prosim o pomoc na tomto fore. Vdaka

↑ kitchima:

Důkaz jednoznačnosti:
Když  ax = b  a rovněž  ay = b , potom po odčtení druhé od první máme    ax - ay = 0 , tedy a(x-y) = 0.
Na poslední rovnici použijeme poučku dokázanou výše (noboť je splněno a <> 0) , což dává  x-y = 0,  x = y.

Ten důkaz existence opět závisí na tom, jaká cesta výstavby teorie byla zvolena. Je třeba si ujasnit přdchozí kroky
a zkusit, zda něco z toho nejde nějak použít.

Například by to mohlo být takto:
Budeme nejprve předpokládat, že  a, b > 0  (ostatní případy obdobně, pro b = 0 je to dokonce snazší)

Dále přepokládejme, že je splněno následující:

(1)   a0 = 0,
(2)   Archimedova vlastnost přirozených čísel,
(3)   věta o supremu a infimu,
(4)   tvrzení, že funkce f(x) = ax   je rostoucí  (pro a > 0).


Označme  . Jistě M je neprázdná, protože obsahuje 0.

Z (2) plyne existence přiroz. čísla n  takového,  že an > b. Toto n podržme i dále.
Z (4) plyne, že pro   t > n  je  at > an ,  podle předchozího kroku pak at > b .
Tím je dokázáno, že číslo n je horní závorou (neboli majorantou) množiny M .
Podle věty o supremu existuje číslo  w = sup M.
Nyní je třeba ukázat, že platí aw = b.  To už zkus sama (navrhoval bych sporem - vyžijí se vlastnosti suprema a
možná znovu (2) v poněkud jiné situaci) .