Matematické Fórum

Satan · 26. 11. 2009 09:57

mam tento priklad

a zatim se me podarilo dojit jen k tomuto a dal nevim jak pokracovat ,mohl by me nekdo prosim popostrcit spravnym smerem? :)

predem diky za pomoc

Kondr · 26. 11. 2009 12:18

↑ Satan:Pokud víš, že je dané maticí, pak víš, že je lineární. Po tobě se chce dokázat, že je lineární (lineární=homomorfismus).
To se tu dokazovalo mockrát, našel jsem třeba toto: http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=336

Satan · 26. 11. 2009 14:51

no i kdyz jsem se snazil i z toho cos me postnul abych se na to podival , tak bohuzel jsem na nic fakt neprisel :( ,u tohoto prikladu jsem uplne ztracen

u_peg · 26. 11. 2009 15:27

Musis dokazat, ze plati
$\mathcal{A}(x + y) = \mathcal{A}(x) + \mathcal{A}(y), \forall x,y \in \mathcal{P}_3\nl \mathcal{A}(k\cdot x) = k\cdot\mathcal{A}(x), \forall x \in \mathcal{P}_3$
Teda:
$\mathcal{A}(x + y) = \mathcal{A}\left( (x_1, x_2, x_3) + (y_1, y_2, y_3) \right) = \mathcal{A}\left( (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3) \right)\nl = \left( (x_1+y_1) + (x_2+y_2) + (x_3+y_3), 2(x_1+y_1) + (x_2+y_2), 2(x_1+y_1) \right)\nl = (x_1 + x_2 + x_3, 2x_1 + x_2, 2x_1) + (y_1 + y_2 + y_3, 2y_1 + y_2, 2y_1) = \mathcal{A}(x) + \mathcal{A}(y)$

Satan · 27. 11. 2009 14:00

nevim stale jak na ten priklad , i kdyz mi radite 200% dobre ,tak ja proste nevim jak na to neustale , ani kamos me s timimto prikladem nedokazal pomoct

Kondr · 27. 11. 2009 15:02

↑ Satan:"Jak na to" už nejde víc rozepsat, než jak to je napsáno vpříspěvku od ↑ u_peg:. Dokázat, že je to lineární zobrazení znamená dokázat dvě věci:
$\mathcal{A}(x + y) = \mathcal{A}(x) + \mathcal{A}(y), \forall x,y \in \mathcal{P}_3\nl\mathcal{A}(k\cdot x) = k\cdot\mathcal{A}(x), \forall x \in \mathcal{P}_3,k\in\mathbb{R}$

První důkaz se provede rozepsáním toho y+x na levé straně, dosazením z definice A, výraz vzniklý dosazením upravíme a dostaneme pravou stranu, rovnost proto platí. Rozepsání těch úprav je zde:
$\mathcal{A}(x + y) = \mathcal{A}\left( (x_1, x_2, x_3) + (y_1, y_2, y_3) \right) = \mathcal{A}\left( (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_3 + y_3) \right)\nl = \left( (x_1+y_1) + (x_2+y_2) + (x_3+y_3), 2(x_1+y_1) + (x_2+y_2), 2(x_1+y_1) \right)\nl= (x_1 + x_2 + x_3, 2x_1 + x_2, 2x_1) + (y_1 + y_2 + y_3, 2y_1 + y_2, 2y_1) = \mathcal{A}(x) + \mathcal{A}(y)$

Naprosto analogicky by se dokázala druhá část:
$\mathcal{A}(k\cdot x) = \mathcal{A}\left( k\cdot (x_1, x_2, x_3) \right) = \mathcal{A}\left( (kx_1, kx_2 , kx_3 + y_3) \right)=\nl = (kx_1 + kx_2 + kx_3, 2kx_1 + kx_2, 2kx_1)=k(x_1 + x_2 + x_3, 2x_1 + x_2, 2x_1) = \mathcal{A}(x) + \mathcal{A}(y)$