Matematické Fórum

K vyřešení této úlohy se bude hodit jedna geometrická vlastnost paraboly.

Mám parabolu, kterou si popíši pomocí funkce



Když nyní zvolím libovolné dva body x1 a x2 na ose x a vynesu je na parabolu tak bude platit, že spojnice těchto bodů bude mít stejný směr jako tečna k parabole v bodě (x1+x2)/2. Získat z tohoto poznatku řešení úlohy už není složité.

Tvrzení se dá dokázat následovně. Směrnice tečny v bodě (x1+x2)/2 je rovna derivaci funkce, která tvoří parabolu v tomto bodě.



tedy



To je ta směrnice. Nyní porovnáme se spojnicí bodů x1 a x2







Což je po úpravě rovno



Jak je vidět, směrnice spojnice obdů x1 a x2 odpovídá směrnici tečny v bodě (x1+x2)/2

↑ badatel25:

Zdravím,

sam to povídaš, povídá to kolega ↑ rughar: a animace (text pod animaci) - je potřeba pomoci "stepů" odečist přesné hodnoty v časovém intervalu, který vyšetřuješ, a vypočíst směrnici.

Možna jen nerozumím, co konkrétně považuješ za problém.

↑ badatel25:

Jak určuješ svou průměrnou rychlost, když za dobu 15 minut ujdeš z domu na náměstí, které je vzdálené 1 km?

Buď pomocí stepů zafixuješ polohy x a odpovídající časy t (nebo pomocí pravého kliku myši vytvořiš podrobný graf, ze kterého oděčteš polohu x_1 v době 6 s a polohu x_2 v čase 9 sek) a vypočteš podle vzorce, který označuješ jako "exaktní", jen bych přehodila indexy, aby byl "konec - počátek": v_prum=(x_2-x_1)/(t_2-t_1)) 

Už OK?

Tedy nějak takhle ? v_prum=(x_2-x_1)/(t_2-t_1)) = 81-36/9-6=45/3=15

podle obrázku vím,  že když
t1 = 6s, x1 = 36, směrnice = 36
t2 = 9s, x2 = 81, směrnice = 18
                             
je to tak správně?
kterými vzorci se můžu dál řídit?

Ještě možá trochu jinak.

V mém původním příspěvku možná někoho zmátlo, že jsem nepoužíval x,t ale místo toho y,x a označením x jsem ve skutečnosti myslel čas t.

Směrnice tečny odpovídá okamžité rychlosti v bodě a směrnice spojnice dvou bodů odpovídá průměrné rychlosti mezi těmito body. Když počítám, že v čase t=0, byla dráha x=0 a rychlost v=0 a auto zrychlovalo rychlostí a, pak bude pro dráhu a rychlost za čas t platit




Je to rovnoměrně urychlený pohyb. Vzorečky lze najít v mnoha učebnicích. Nyní se ptám. Jaký je rozdíl mezi průměrnou rychlostí auta mezi časy t1,t2 a okamžitou rychlostí v bodě (t1+t2)/2. Dosazením lze zjistit, že jsou úplně stejné (pro libovolně zvolené t1 a t2).

Pozn. připomínám jenom, že vztah pro okamžitou ryhclost je napsán výše a vztah pro průměrnou rychlost je



Přijít se na to dá jednoduchou geometrickou úvahou a zamyšlením nad tím, co to vlastně směrnice je.

Tohle ale nemá být něco jako konečné řešení, kde dosadím pár hodnot a mám výsledek. Tohle mělo naznačit, že žádného dosazování konkrétních hodnot není třeba! Ze zadaných otázek je totiž vidět, že všechny časové intervaly mají stejný aritmetický průměr. A z uvedené vlastnosti paraboly tedy plyne, že jejich spojnice má stejnou směrnici. Tedy průměrnou rychlost. Průměrná rychlost mezi časy 6 a 9s stejně tak jako mezi 7,4 a 7,6s bude stejné jako mezi původními časy 5 a 10s. Stejně tak stejná jako mezi všemi intervaly, kde průměr okrajových hodnot bude 7,5s.

↑ badatel25:

Směrnici přímky, co spojuje zkoumané body, jsi vypočítal správně a zřejmě z více výpočtů správně děláš závěr, že směrnice je stejná pro další časové úseky dle zadání (teď je potřeba tento zavěr zobecnit) viz  ↑ rughar:

Ještě jednou k tvému problému: aby se dalo nějak rozumně spolupracovat, prosím, abys:

1) jasně formuloval svou úlohu (Pomocí appletu ... studujte .... odvoďte vztah... udělejte závěr...)

2) K problému, který máš řešit, nastudoval alespoň základní informace (materiál ZŠ, na který jsem odkazala, sice neřeší problém limitního chování průměrné rychlosti v případě zkracování doby pohybu).

3) pak své teoretické předpoklady kombinovat s praktickou ukazkou a, pokud stale bude problém s vyřešením úlohy, tak, prosím ten problém konkretizovat. Vysvětlovat celou Encyklopedii fyziky asi těžko někdo bude. Kolega rughar i tak už udělal hodně, děkuji, ale mám pocit, že jeho povídání nečteš dostatečně pozorně.

Patřiš také k VŠ skoro programatorům, kterým nastřelili fyziku?

↑ badatel25:

Pomocí 2. appletu sledujeme směrnici tečny ke křívce x(t). Okamžita rychlost se počítá jako jako první derivace x(t). Okamžita rychlost má také smysl směrnice tečny.

Proto umíme teoreticky vypočítat okamžitou rychlost v každý konkrétní "okamžik" t, když konkrétní hodnotu času dosadíme do 1. derivace: v(t)=2t.

Pro čas t=1s, pro čas t=2 atd. Stejný výsledek (jako výpočet) budeme pozorovat na 2. appletu. Vidíme tam "slope" v konkrétní okamžík a můžeme odečíst čas t, polohu x.

Zrychlení je 1. derivace rychnlosti a 2. derivace dráhy, v nášem případě a=2 (tedy pozorujeme rovnoměrně zrychlený pohyb).

Stačí tak (teď tu nebudu, ale snad už je to jasné)?

------
Až to celé vyřešíš, tak můžeš se zapojit do debaty tady, děkuji :-)

↑ lajo-senka:

Červený nápis jsi nečetl? Pravidla také ne?