Matematické Fórum

Marian · 28. 08. 2009 08:58

Nechť $(a,b,c)$ je trojice kladných čísel splňující podmínku $a+b+c=1$ . Pak platí

$\Large (a+1)(b+1)(c+1)\ge 8\cdot (1-a)(1-b)(1-c).$

Dokažte!

Marian · 06. 09. 2009 22:08

Původně jsem chtěl napovědět, že by tuto úlohu mohl řešit s přehledem žák 9. třídy, což byste možná brali jako vtip. Doufám, že tu legraci objevíte bez mého pošťouchnutí (přiznám se, že si nejsem jist, jestli poslednímu slovu před levou závorkou psaném kurzívou rozumí slovenští kolegové - pokud ano, zajímal by mě jejich překlad do slovenštiny :).

Rumburak

↑ Marian: Určitý čas i trpělivost jsem tomu věnoval, ale musím se přiznat, že zatím bezvýsledně.
Toto konstatování ale nemá naznačovat, že si říkám o nápovědu. S odstupem času mne třeba něco osvítí,
případně někde seženu učebnici 9. třídy ... :-).

Marian · 07. 09. 2009 15:44

↑ Rumburak:

Nemohu se dočkat na nápady k řešení. Úlohu jsem našel na jednom světovém fóru o matematice s relativně náročnými úlohami, ale řešení jsem našel (při troše strohosti) na čtyři řádky s aparátem matematiky 9. třídy klasické ZŠ.

Kondr · 07. 09. 2009 22:02 — Editoval Kondr (07. 09. 2009 22:20)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Pokud bychom nechtěli hledat pěkné řešení, tak to homogenizujeme (dosadíme za 1=a+b+c), roznásobíme a vyjde nám Muirheadova nerovnost mezi multiindexy [3,0,0] a [2,1,0].

Marian · 08. 09. 2009 14:45

↑ Kondr:
Ano, toto je správně. Muirheadova nerovnost není triviální tvrzení, ale je velmi silné. Použil jsem stejný přístup, jen jsem ...

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Odtud velmi snadno dokazovaná nerovnost.

Rumburak · 09. 09. 2009 08:53

↑ Marian: ↑ Kondr:

Fakt pěkné !

halogan · 09. 09. 2009 09:19

↑ Marian:

To je ten postup pro deváťáky?

Cheop · 09. 09. 2009 09:32 — Editoval Cheop (09. 09. 2009 09:32)

↑ halogan:
Marian má o našem základním školství velké představy.
Toho jsem si všiml už několikrát.

lukaszh · 09. 09. 2009 09:49

↑ Cheop:↑ halogan:
Nie ste sami :-) Ja som sa na základnej škole nestretol ani s pojmami typu: lineárna funkcia, kvadratická rovnica. Až na strednej...

Kondr · 09. 09. 2009 10:09

Potřebné znalosti: kvadrát je vždy kladný, úprava výrazů, násobení nerovností. Jistě, je to chytrá úprava výrazů, která by většinu deváťáků nikdy nenapadla, ale jako soutěžní úloha v olympiádě pro devátou třídu by se to teoreticky objevit mohlo (většinou ale bývají nerovnosti až od kategorie C výš).

Marian · 09. 09. 2009 13:29

↑ Cheop:↑ lukaszh:
Já jsem na ZŠ matematiku učil, takže vím, že to vysvětlitelné s jejich aparátem je - třeba v nějakém matematickém semináři nebo kroužku. Teoreticky vzato, je schopen žák klasické 9. třídy řešit tuto úlohu. To dokazuje také výčet znalostí kolegy ↑ Kondra: výše.