Matematické Fórum

Mathe · 31. 12. 2009 09:29 — Editoval Mathe (31. 12. 2009 13:51)

Dobré ráno, chtěl bych vás poprosit o malou radu. mám zadaný příklad: Napište rovnici kružnice, jejíž střed leží na přímce p: $x+3y-4=0$ a kružnice se dotýká osy x i osy y.
Šel jsem na to takto:
osa x má rovnici $y=0$ a osa y $x=0$
z tohoto jsem si vyjádřil směrové vektory $s_1(0;1)$ $s_2(1;0)$ , z toho normálové vektory $n_1(-1;0)$ a $n_2(0;-1)$
dále jsem si vytvořil obecné rovnice obou: $-x+c=0$ a $-y+c=0$
a vyřešil soustavu tří rovnic o třech neznámých $x+3y-4=0$ $-x+c=0$ $-y+c=0$
z toho mi vyšlo $c=1$ a $S[1;1]$
pak jsem si vypočítal vzdálenost bodu S od bodu, kde se mi protla jedna z přímek s osou. vyšlo to $\sqrt1$
výsledným řešením je: $(x-1)^2+(y-1)^2=1$

Všechno by bylo asi v pořádku, ale v učebnici uvádí ještě druhé řešení $(x+2)^2+(y-2)^2=4$ a to nevím, jak se k němu dopracovat. Pravděpodobně budu mít špatný postup, ale na lepší jsem zatím nepřišel.

Dále bych měl podobný příklad (prakticky stejný, jenom s jinými čísly) ale problém je v tom, že mi nevychází řešení tří rovnic o třech neznámých. Napište rovnici kružnice, jejíž střed leží na přímce p: $x-y+3=0$ a kružnice se dotýká osy x i osy y.
opět jsem na to šel stejně. vyjádřil si směrový vektor, dále normálový, sestavil obecnou rovnici.
$x+c=0$ $y+c=0$ $x-y+3=0$
ovšem řešením této rovnice se dostanu k tomu, že $3=0$ a to je jaksi nesmysl.

Děkuji za všechny vaše rady.

Ivana · 31. 12. 2009 09:47

↑ Mathe: ... tak já pošlu obrázek , ono to třeba něco napoví ...

zdenek1 · 31. 12. 2009 09:48

↑ Mathe:
Pokud se kružnice dotýká osy $x$ i $y$ její střed bude mít souřadnice $S[\pm r;\pm r]$ . Tento střed leží na přímce p: $x+3y-4=0$ . Takže stačí 4 krát dosadit a spočítat $r$ (něco nebude mít řešení)

jelena · 31. 12. 2009 09:49 — Editoval jelena (31. 12. 2009 09:52)

↑ Mathe:

Zdravím, postupovala bych trochu jinou cestou:

a) střed leží na přímce $x+3y-4=0$ , souřadnice středu jsou (m, n), platí $m+3n-4=0$ , odsud $m=4-3n$

b) kružnice se dotyká os, dotekové body maji souřadnice: na ose y: (0, n), na ose x: (m, 0)

c) všechno dosadím do středového tvaru kružnice: $(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$ a vytvořím soustavu 3 rovnic:

$m=4-3n$

$(0-m)^2+(n-n)^2=r^2$ pro bod na ose y

$(m-m)^2+(0-n)^2=r^2$ pro bod na ose x

Je to tak srozumitelné?

-----
Na Ivaniny obrázky ovšem nedosahuji :-)

EDIT: a na návrhy od Zdeňka (pozdrav :-) už vůbec ne - mám svůj návrh zlikvidovat? Děkuji :-)

Mathe · 31. 12. 2009 09:55

↑ Ivana:
Ano, za obrázek děkuji, to mě opravdu nenapadlo takhle.
↑ zdenek1:
Mohl byste mi to ukázat trochu početně ? Alespoň jak sestavíte první rovnici. Mě se ten můj postup totiž pořád nějak nezdá.
Mám dosazovat do rovnice kružnice ? $(x-m)^2+(y-n)^2=r^2$ ? Co tedy mám dosadit za x a y ?

Ivana · 31. 12. 2009 09:56

↑ jelena: Určitě nic nelikviduj !! Studuju to :-)

zdenek1 · 31. 12. 2009 09:59

↑ jelena:
Proč bys to likvidovala? Čím víc postupů, tím si ↑ Mathe: víc rozšíří obzory. Jsem optimista :-)

jelena · 31. 12. 2009 10:05

↑ zdenek1:

To já také optimista (spiš by někdo měl okomentovat postup ↑ Mathe:, proč to nevede k výsledku) - byl jsi přitomen, navržen a zvolen :-)

Ivana · 31. 12. 2009 10:12

↑ Mathe: Tak jsem použila postup od ↑ jelena:

Některé řešení nevyhovuje a to je vidět z mého obrázku :-)

Ivana · 31. 12. 2009 10:15

↑ zdenek1: Zdravím :-) , tak jak je uvedeno

jelena napsal(a):
To já také optimista (spiš by někdo měl okomentovat postup ↑ Mathe:, proč to nevede k výsledku) - byl jsi přitomen, navržen a zvolen :-)

.. připojuji se :-)

jelena · 31. 12. 2009 10:23

↑ Ivana:

V některých tématech to opravdu vypadá... (Vážené Moderátorstvo je, tuším, na horách, jinak by nás srovnalo a vyhnalo pracovat).

V prvním rámečku, myslím, že vypadlo "na druhou" - je to tak? Děkuji.

Mathe · 31. 12. 2009 10:28

↑ jelena:
Děkuji vám, tento způsob mi přijde jako nejlepší. Jako jediný jsem ho pochopil.

jelena · 31. 12. 2009 10:40

↑ Mathe:

Zdeňkův postup je více "elegantní" a na počet operací asi bude lepší (jen nejsem si jistá, jak bych ošetřila, že "něco nebude řešení" - že r má vycházet kladně?). Můj je takový standard.

Olin · 31. 12. 2009 13:16 — Editoval Olin (31. 12. 2009 13:17)

Já v původním řešení nacházím problém asi v tomto místě, kterému příliš nerozumím:

Mathe napsal(a):
z tohoto jsem si vyjádřil směrové vektory $s_1(0;1)$ $s_2(1;0)$ , z toho normálové vektory $n_1(-1;0)$ a $n_2(0;-1)$
dále jsem si vytvořil obecné rovnice obou: $-x+c=0$ a $-y+c=0$

Rovnice kterých přímek mají být ty poslední dvě? Proč nás zrovna ty zajímají?

Ještě dodám jednu možnost řešení, která mně osobně přijde nejnázornější: jestliže se kružnice dotýká obou os soustavy souřadné, musí její střed ležet na jedné z os kvadrantů (na SŠ se to myslím učí v honosně nazvané části učiva množiny bodů dané vlastnosti - osa úhlu je množina středů všech kružnic, které se dotýkají obou ramen úhlu). Tedy musí střed kružnice ležet buď na přímce $y=x$ , nebo na přímce $y=-x$ . Pak již jen vyřešíme příslušné soustavy rovnic, např.
$y = x\nl x+3y-4 = 0\nl x_1 = 1,\, y_1 = 1\nl S_1 = [1;\, 1],\, r_1 = 1$

$y = -x\nl x+3y-4 = 0\nl x_2 = -2,\, y_2 = 2\nl S_2 = [-2;\, 2],\, r_2 = 2$

medvidek

↑ Mathe:
V úvodním příspěvku píšeš, že v učebnici uvádí ještě druhé řešení $(x-2)^2+(y-2)^2=4$ . To je ale špatně. Má tam být $(x+2)^2+(y-2)^2=4$ .

Mathe · 31. 12. 2009 13:51

↑ medvidek:
Ano máte pravdu, už jsem to opravil

Ivana · 31. 12. 2009 14:35

↑ jelena:↑ Mathe:.. ano uteklo mi na druhou v 1. rámečku , tady je oprava :

jelena · 31. 12. 2009 15:12

↑ Ivana: děkuji, Ivano :-)

↑ Olin: byla by to troufalost hodnotit Tvé výkony, děkuji za nejefektivnejší řešení (ovšem se změnou podpisu mám trochu problém - narušuješ mi souvislost myšlenek (pokud nějaká byla). Pozdrav :-)

Matematické Fórum

#1 31. 12. 2009 09:29 — Editoval Mathe (31. 12. 2009 13:51)

Kuželosečky - kružnice - střed na přímce a dotýká se os.

#2 31. 12. 2009 09:47

Re: Kuželosečky - kružnice - střed na přímce a dotýká se os.

#3 31. 12. 2009 09:48

Re: Kuželosečky - kružnice - střed na přímce a dotýká se os.

#4 31. 12. 2009 09:49 — Editoval jelena (31. 12. 2009 09:52)

Re: Kuželosečky - kružnice - střed na přímce a dotýká se os.

#5 31. 12. 2009 09:55

Re: Kuželosečky - kružnice - střed na přímce a dotýká se os.

#6 31. 12. 2009 09:56

Re: Kuželosečky - kružnice - střed na přímce a dotýká se os.

#7 31. 12. 2009 09:59

Re: Kuželosečky - kružnice - střed na přímce a dotýká se os.

#8 31. 12. 2009 10:05

Re: Kuželosečky - kružnice - střed na přímce a dotýká se os.

#9 31. 12. 2009 10:12

Re: Kuželosečky - kružnice - střed na přímce a dotýká se os.

#10 31. 12. 2009 10:15

Re: Kuželosečky - kružnice - střed na přímce a dotýká se os.

jelena napsal(a):

#11 31. 12. 2009 10:23

Re: Kuželosečky - kružnice - střed na přímce a dotýká se os.

#12 31. 12. 2009 10:28

Re: Kuželosečky - kružnice - střed na přímce a dotýká se os.

#13 31. 12. 2009 10:40

Re: Kuželosečky - kružnice - střed na přímce a dotýká se os.

#14 31. 12. 2009 13:16 — Editoval Olin (31. 12. 2009 13:17)

Re: Kuželosečky - kružnice - střed na přímce a dotýká se os.

Mathe napsal(a):

#15 31. 12. 2009 13:37 — Editoval medvidek (31. 12. 2009 13:38)

Re: Kuželosečky - kružnice - střed na přímce a dotýká se os.

#16 31. 12. 2009 13:51

Re: Kuželosečky - kružnice - střed na přímce a dotýká se os.

#17 31. 12. 2009 14:35

Re: Kuželosečky - kružnice - střed na přímce a dotýká se os.

#18 31. 12. 2009 15:12

Re: Kuželosečky - kružnice - střed na přímce a dotýká se os.

Zápatí