Matematické Fórum

quardiola · 17. 12. 2009 18:01

u teto matice mam udělat spektrální rozklad
3 0 √6
0 4 0
√6 0 -2
vlastni cisla mi vyšli -3,4, 4
pak sem chtel vypočítat vlastni vektory matice tak sem ji dal na schodovy tvar
pro -3:

6 0 √6 =0
0 7 0 =0
0 0 0 =0

pro 4:
-√6 0 6= 0
0 0 0 =0
0 0 0 =0
no a ja bych tyto dve matice potreboval dopočítat mi to nějak s těma parametrama nevychazi, tak prosim pomožte...díky

jelena · 17. 12. 2009 18:33

↑ quardiola:

Zdravím,

podobný rozklad (jedno dvounásobné vlastní číslo) se řešil tady а strojový výpočet, na závěr jsou i vlastní vektory (eigenvectors). Pomůže?

....

quardiola · 17. 12. 2009 20:28

↑ jelena: jj určitě pomuže ale ja bych potřeboval vedet kde mam dat ty parametry jetsli za x1 x2 nebo x3 a ten celkovy dopočet jetsli by to šlo... aspon na jedne matici

jelena · 17. 12. 2009 21:02 — Editoval jelena (17. 12. 2009 21:07)

↑ quardiola:

Jednotlivé matice jsem nekontrolovala, pokud je toto v pořádku,

6 0 √6 =0
0 7 0 =0
0 0 0 =0

poslední řádek se vyškrtne, zůstane 2 rovnice a 3 neznamé (je třeba zavest jeden parametr $x_3=p$ (teď mohu za p použít libovolné číslo z R, volím $x_3=1$ , dosazuji do 2, rovnice a dostanu $x_2=0$ , dosazuji do 1. rovnice a dostanu: $6x_1+0+\sqrt6 =0$ , odsud $x_1=-\frac{1}{\sqrt 6}$ , to je 3. vektor, co vytvoril stroj.

Pro cislo (4),

-√6 0 6= 0
0 0 0 =0
0 0 0 =0

se vyškrtnou poslední 2 řádky, mám 1 rovnici, 3 neznamé, zavedeme 2 parametry: $x_3=s$ , $x_2=t$ (konkrétně volím s=0, t=1, po dosazení dostanu $x_1=0$ - což je 2. vektor vytvořeny strojem), dal volím s=1, t=0, po dosažení do rovnice dostanu $x_1=\sqrt6$ , což je 1. vektor stroje.

To je ten problém, který řešiš?

-----
Маруся молчит и слезы льет... - mám to já dnes výběr: buď dotázník pro hotelový provoz nebo spektrální rozklad (to je hezčí varianta Marusi)

quardiola · 17. 12. 2009 21:08

↑ jelena:diky moc mi to taky tak vyšlo ja jsem jenom nevěděl že za 0 se muže dosadit parametr..ale díky moc

jelena · 17. 12. 2009 21:11

↑ quardiola:

Není za co, jinak parametr se nedosazuje za 0, ale vedle nuly: je to 0*x_3 (jen příklad), za x_3 "dosazuješ" parametr. Ať se vede.

finch.cz · 28. 12. 2009 21:46

potřebuju poradit

mám matici

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \nl 0 & 2 & sqrt{12} \nl 0 & sqrt{12} & 3 \end{pmatrix}$

z ní mi vyšli vlastní čísla

$\lambda_1{1}$ $\lambda_2{-1}$ a $\lambda_3{6}$

determinant je -6

jak mám spočítat vlastní vektory? je mi jasné, že dosadím vl. čísla do matice, pak mi pro $\lambda_2{-1}$ vyjde něco takového

$\begin{pmatrix} 1+1 & 0 & 0 \nl 0 & 2+1 & sqrt{12} \nl 0 & sqrt{12} & 3+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \nl 0 & 3 & sqrt{12} \nl 0 & sqrt{12} & 4 \end{pmatrix}$ co dělat teď?

pro $\lambda_3{6}$ mi vychází

$\begin{pmatrix} 1-6 & 0 & 0 \nl 0 & 2-6 & sqrt{12} \nl 0 & sqrt{12} & 3-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & 0 & 0 \nl 0 & -4 & sqrt{12} \nl 0 & sqrt{12} & -3 \end{pmatrix}$

a pro $\lambda_1{1}$

$\begin{pmatrix} 1-1 & 0 & 0 \nl 0 & 2-1 & sqrt{12} \nl 0 & sqrt{12} & 3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \nl 0 & 1 & sqrt{12} \nl 0 & sqrt{12} & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & sqrt{12} & 2 \nl 0 & 1 & sqrt{12} \nl 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & sqrt{12} & 2 \nl 0 & sqrt{12} & 12 \nl 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & sqrt{12} & 2 \nl 0 & 0 & 10 \nl 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

mno teď mě vůbec nenapadá, jak mám získat z druhého a třetího vl čísla vl vektory a u prvního vl čísla, jestli je to v pořádku, tak také? jsem ostuda :(

LukasM · 28. 12. 2009 22:07

↑ finch.cz:
Ahoj. Spíš než vlastní čísla a spektrální rozklad si budeš muset projít řešení soustav lineárních rovnic Gaussovou eliminací (Google, nebo hledání tady na fóru).
Pro -1 a 6 stačí tu matici soustavy doupravit na horní stupňovitý tvar a vyčíst z toho řešení), u vl. čísla 1 už je matice upravená a stačí ji dobře přečíst (tj. druhé dvě souřadnice jsou nutně nuly, první se dá volit libovolně -> (1,0,0) je hledaný vl. vektor).

Stačí takhle?

finch.cz · 30. 12. 2009 18:18

takže, když mám tedy už váslednou matici, tak z ní jen tak zjistím ten vektor? tzn souřadnice, kde je číslo, je nula a tam kde je nula na souřadnici, tak číslo vektoru je jedna? jak to?

imho, teď jsem dopočétal matici pro -1

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \nl 0 & 24 & 36 \nl 0 & 0 & -4 \end{pmatrix}$

takže tady by vyl vektor 1 1 -1 ? snažím se to už konečně naučit, ale čím dál zjišťuju, kolik jsem toho zapomněl :(

LukasM · 30. 12. 2009 23:05

↑ finch.cz:
Nazdárek. Jak jsem přišel na ten vlastní vektor? Je to matice soustavy, kterou řešíme Gaussovou eliminací. Po úpravě na horní stupňovitý tvar to vlastně odpovídá soustavě rovnic:

0x + sqrt(12)y + 2z = 0
0x + 0y + 10z = 0
0x + 0y + 0z = 0

Z toho doufám není problém určit ty tři čísla jako jsem to udělal já. Z druhé rovnice vidíš, že z=0, dosazením do první dostaneš že y=0, x můžeš volit libovolně. Proto jsem tam dal jedničku, ale šlo by jakékoli jiné číslo (vl. vektor není pochopitelně dán jednoznačně). Pokud ti tohle dělá problémy, tak chvíli nech spektrální rozklad a vlastní čísla, a vrať se ve skriptech o pár desítek stránek zpátky k řešení soustav lineárních rovnic, to je potřeba mít v malíčku, jak by řekl můj oblíbený pedagog.

Ta matice pro -1 je upravená špatně, matice musí být singulární. Jak jsi se dostal k těm číslům?

Na okraj - kdyby to tak vyšlo tak jak navrhuješ, soustava by rozhodně neměla řešení (1,1,-1), to porušuje všechny tři rovnice. Jediné řešení by bylo (0,0,0). Jinak ten mínus jsi tam dal proč? Protože je tam -4? Potom opravdu doporučuju si dostudovat to řešení lin. rovnic, protože musíš vědět, že libovolný řádek matice soustavy se dá vynásobit libovolnou nenulovou konstantou, aniž by to změnilo řešení. Takže po vynásobení posl. řádku číslem -1/4 bude po mínusu (dokonce i po čtyřce).

finch.cz · 31. 12. 2009 21:15

díky, přeju co nejlepší nový rok

finch.cz · 03. 01. 2010 19:52

takže jsem udělal chybu v tom, že jsem 2. a 3. řádek mocnil což, jak se tak zdá, je blbost :/

takže teď jsem skončil na

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \nl 0 & 3sqrt{12} & 12 \nl 0 & 12 & 4sqrt{12} \end{pmatrix}$

protože mě nenapadá, jak to upravit :(

LukasM · 03. 01. 2010 20:06 — Editoval LukasM (03. 01. 2010 20:07)

↑ finch.cz:
Mocnit řádek je opravdu blbost.
Ta úprava je dobře, ale proč jsi spodní řádek násobil odmocninou ze 12ti? Nebylo by lepší ho místo toho vynásobit třema?

Všechno děláš proto, abys matici převedl do horního stupňovitého tvaru, a teď se právě potřebuješ zbavit toho prvku dole uprostřed (zbavit=vyrobit tam nulu) - a to ekvivalentními úpravami (násobení řádků nenulovým číslem, přičítání lineárních kombinací řádků k jinému řádku, prohazování řádků). Když to vynásobíš tak jak říkám, tak snad uvidíš jak to udělat.

finch.cz · 03. 01. 2010 21:01

no jo, fakt dik. takhle vyšlo

$\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \nl 0 & 6sqrt{12} & 12 \nl 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

a z toho by vl vektor mohl byt $\begin{pmatrix} 0 \nl -\frac{sqrt{3}}2 \nl 1 \end{pmatrix}$ ?

spodní řádek je nulový, takže se volí jeden parametr. první řádek, tedy x1 je nula, že? no a x2 se spočítá

$6sqrt{3} = -12r //6$
$sqrt{3} = -2r //-2$
$-\frac{sqrt{3}}2 = r$

nebo je tam zase něco špatně?

LukasM · 03. 01. 2010 21:25

↑ finch.cz:
No, teď jsi špatně opsal tu matici, ale počítáš to z té správné, tak jsi to možná jen špatně přepsal do TeXu. Ale ani tak to není dobře. Ujasni si za kterou z těch složek dosadíš ten takzvaný "parametr" jedničku. Tys při výpočtu zvolil y=1 a dopočítal z (správně), ale do výsledku jsi to napsal opačně.

(x,y,z) je při mém značení ten výsledný vlastní vektor.

finch.cz · 03. 01. 2010 22:11

ach

takze ten vektor bude 0 1 -sqrt(3)/2 ?

LukasM · 03. 01. 2010 22:52

↑ finch.cz:
Ano, vektor (0,1,-sqrt(3)/2) je vskutku vl. vektor příslušející vl. číslu -1, o čemž se můžeš nakonec snadno přesvědčit. Když ho zleva vynásobíš tou původní maticí, musí ti vyjít jeho -1násobek.

finch.cz · 04. 01. 2010 21:12

takže pro poslední vl číslo tj 6 mi vyšla matice takto

$\begin{pmatrix} -5 & 0 & 0 \nl 0 & -4 & sqrt{12} \nl 0 & sqrt{12} & -3 \end{pmatrix} => \begin{pmatrix} -5 & 0 & 0 \nl 0 & -12 & 6sqrt{3} \nl 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

a z toho je vl vektor tedy

$\begin{pmatrix} 0 \nl \frac{sqrt{3}}2 \nl 1 \end{pmatrix}$

no a nyní potřebuju vytvořit matici D která má na diagonále vlastní čísla a pak matici U a U^T, které jsou složené z tech vlastních vektorů? a poté by to mělo po vynásobení dát původní matici A? Tohle je podle vzorce A = U^T * D * U, že jo, no a potom už je celý rozklad hotov?

LukasM · 04. 01. 2010 21:19

↑ finch.cz:
Ten vl. vektor je dobře, a ten zbytek taky (akorát jsi zapoměl napsat, že vl. vektory předtím ještě znormuješ, musí tvořit ortonormální bázi), teď to jenom dobře udělat. Když si tady na fóru dáš do hledání "spektrální rozklad", tak najdeš mraky příkladů.

finch.cz · 04. 01. 2010 21:34

díky ti moc, teď jdu hledat :)

Matematické Fórum

#1 17. 12. 2009 18:01

spektrální rozklad

#2 17. 12. 2009 18:33

Re: spektrální rozklad

#3 17. 12. 2009 20:28

Re: spektrální rozklad

#4 17. 12. 2009 21:02 — Editoval jelena (17. 12. 2009 21:07)

Re: spektrální rozklad

#5 17. 12. 2009 21:08

Re: spektrální rozklad

#6 17. 12. 2009 21:11

Re: spektrální rozklad

#7 28. 12. 2009 21:46

Re: spektrální rozklad

#8 28. 12. 2009 22:07

Re: spektrální rozklad

#9 30. 12. 2009 18:18

Re: spektrální rozklad

#10 30. 12. 2009 23:05

Re: spektrální rozklad

#11 31. 12. 2009 21:15

Re: spektrální rozklad

#12 03. 01. 2010 19:52

Re: spektrální rozklad

#13 03. 01. 2010 20:06 — Editoval LukasM (03. 01. 2010 20:07)

Re: spektrální rozklad

#14 03. 01. 2010 21:01

Re: spektrální rozklad

#15 03. 01. 2010 21:25

Re: spektrální rozklad

#16 03. 01. 2010 22:11

Re: spektrální rozklad

#17 03. 01. 2010 22:52

Re: spektrální rozklad

#18 04. 01. 2010 21:12

Re: spektrální rozklad

#19 04. 01. 2010 21:19

Re: spektrální rozklad

#20 04. 01. 2010 21:34

Re: spektrální rozklad

Zápatí