Matematické Fórum

↑ Matik: Afinita je daná maticí M a vekorem v -- vektoru u pak přiřazuje vektor Au+v. Máme to brát tak, že vektor v je v obou otázkách nulový?

Druhá otázka nedává smysl (chybí přísudek).

V tom případě to budeme brát tak, jak jsem naznačil: že vektor v budeme považovat za nulový.

1) Skládání afinit odpovídá násobení matic. Protože má být grupa uzavřená na skládání, v řeči matic to znamená uzavřenost na násobení. Grupa musí obsahovat afinity dané maticemi , kde je celé číslo ( je jednotková matice). Tyto matice se dají explicitně popsat -- stačí spočítat a mělo by to být jasné.

2) Pro danou matici má platit a přitom X není jednotková. Když to rozepíšeme, máme 4 rovnice pro 4 neznámé, neměl by být problém je vyřešit a vyloučit jednotkové řešení.

↑ Matik: Násobit matice umíš? Jestli jo, tak zkus spočítat E^2=E*E a E^3=E*(E*E), to by tě mělo nakopnout k té jedničce. Kdyžtak sem napiš, jak vyšla E^3, ať se máme od čeho odrazit.

U dvojky -- X*X vyjde . Protože se to má rovnat jednotkové matici, máme rovnosti

Jsou dvě možnosti
1) . Pak b zvolíme libovolné nenulové a z první rovnice , a zvolíme téý libovolně, d=-a. Nulové lze volit jen pro , v takových případech může být c libovolné.
2) . Pak ze druhé a třetí rovnice b=c=0, z první a druhé . Protože jednotková matice nás nezajímá, je řešením v tomto případě pouze .

↑ Matik: Výborně :) Takže hypotéza je E^n=<1,n,0,1>. Bázový krok (pro n=0) máme. Předpokládejme, že platí pro n=k, pro n=k+1 dokážeme snadno:
E*E^k=<1,1,0,1>*<1,k,0,1>=<1,k+1,0,1>. Tím bychom ji měli dokázanou pro nezáporná čísla. Pro záporná to už je snadné E^(-k)=(E^k)^(-1)=<1,-k,0,1> (rychloinvertování matic 2*2: na hlavní diagonále prohodíme prvky, na vedlejší změníme znaménka a výsledek dělíme determinantem).

V dané grupě musí být afinity dané maticemi <1,n,0,1>. Na druhou složením dvou takovýchto afinit dostaneme také takovouto afinitu, inverzí opět nedostaneme nic jiného. Nejmenší grupa je tedy {afinita daná maticí <1,n,0,1>| n je celé}.

Každou elaci lze vzhledem k vhodně zvoleným souřadnicím zadat maticí . Je proto složením afinit daných maticemi a , které jsou involucemi (viz přechozí příspěvek nebo umocněním matice na druhou) a afinitami.