Matematické Fórum

mato.mago · 06. 01. 2010 20:53

Chcel by som Vas poziadat o pomoc s tymto prikladom:

derivacia: f(x) = e^|x(x+1)|

zrejme by som si to mal rozdelit na dve derivacie pre kladne x a pre zaporne x a vypocitat ich osobitne a nasledne spocitat derivaciu z prava, lava v nulovych bodoch absolutnej hodnoty, teda v 0 a -1. Ale vobec si neviem predstavit ako to bude cele vyzerat.

Vopred dakujem za pomoc.

jelena · 06. 01. 2010 21:14

↑ mato.mago:

Zdravím,

bude tak, jak navrhuješ (jen s upřesněním - ne "pro kladné x, záporné x"), ale pro nezápornou hodnotu výrazu x(x+1) - jedna derivace, pro zápornou hodnotu výrazu x(x+1) - "jiná" derivace (když to zderivuješ, tak zjistiš, že se derivace budou lišit pouze znaménkem). Jinak co do postupu výpočtu je to derivace složené funkce.

V čem konkrétně se to nezdá?

mato.mago · 06. 01. 2010 21:22

↑ jelena:

To je ten problem, ze sam neviem.
Nejak si to neviem cele predstavit. Potreboval by som to vidiet vypocitane.

Inak samozrejme dakujem za opravenie a za pomoc.

jelena · 06. 01. 2010 21:32

↑ mato.mago:

tak zkus derivovat jen takovou funkci: $f(x) = e^{(x^2+x)}$

derivace složené funkce byla dnes v nočních hodinách + nová polopatická pomůcka. Standardní vzorec pro derivaci složené funkce máš?

mato.mago · 06. 01. 2010 21:37

↑ jelena:

To nemam problem zderivovat.

Konkretne by to malo byt: e^((x^2)+1) * (2x+1) , ale ta absolutna hodnota ma uplne zmatie a neviem si s tym rady.

jelena · 06. 01. 2010 21:39

↑ mato.mago:

V pořádku, děkuji. A teď derivuj toto:

$f(x) = e^{-(x^2+x)}$

mato.mago · 06. 01. 2010 21:42

↑ jelena:

e^-((x^2)+1) * (-2x-1)

snad takto

jelena · 06. 01. 2010 21:47 — Editoval jelena (06. 01. 2010 21:47)

↑ mato.mago:

máš jen drobný překlep v mocnine.

$f^{\prime}=e^{-(x^2+x)}\cdot (-2x-1)$

a teď jen řekni, na kterém intervalu platí derivace, co jsme počítali jako první v pořádí (kde je x*(x+1) nezáporne)

halogan

Já budu zlý dneska. Narušil jsem tady lineární postup kolegyně (zdravím) a přenechám další uvažování na autora.

Budu k dispozici.

jelena · 06. 01. 2010 21:56

↑ halogan:

tak já tady pulhodiny odblokovávám strach před absolutní hodnotou a pravě miřím k kulminaci ohledně otevřených intervalu - a co? :-)

S důvěrou přenechám kolegu do vysoce odborných rukou a myšlenek (docela se mito i hodí, děkuji) a pozdrav :-)

Ještě jsem kolegovi neřekla, že má klepat na můj zápis v TeX a pokračovat v zápisu dle pokynu.

mato.mago · 06. 01. 2010 22:00

↑ jelena:

Tak tu je pre mna trosku problem, ale rozumiem tomu, co "halogan" napisal. Koniec koncov je to odpoved na otazku.

pre (x(x+1)) je to (-oo,1)U(0,+oo)
a pre -(x(x+1)) je to doplnok...

Derivacie v -1 a 0. Neviem ako to mam urobit.
Ale myslim, ze v tychto bodoch je derivacia rovna 0.
No neviem ako sa to pocita. Dosadenim do definicie derivacie a potom limitu alebo len dosadim body za x v derivovanej funkcii.

halogan · 06. 01. 2010 22:03

Tak já to zkusím od úplného základu. Nakresli si funkci $y = x \cdot (x+1)$ , případně $y = |x \cdot (x+1)|$ . Ona je v absolutní hodnotě a tu zkoumáš (mimo jiné).

Měl bys dojít k následujícím poznatkům:

1) Kdy je funkce kladná? Bude na ni mít absolutní hodnota nějaký vliv?

2) Kdy bude funkce záporná? Co s ní udělá absolutní hodnota?

3) Co když bude nula? To si nech až na konec, to bude trochu složitější.

mato.mago · 06. 01. 2010 22:12

↑ halogan:

Najprv ahoj, dakujem, ze si sa ma ujal.

Takze bude to parabola pretinajuca x-ovu os v 0 a -1.
Ked Zvazim aj absolutnu hodnotu, tak cast, ktora bola pod osou x sa preklopi nad nu.

halogan · 06. 01. 2010 22:16

Dobře, je to tak.

Takže pro pro jaké x se ta funkce prakticky nemění? (otázka #1) A jaký to má vliv na derivaci?

(pokud zodpovíš správně všechny 3 otázky, tak máš hotovo)

mato.mago · 06. 01. 2010 22:20

↑ halogan:

Nemeni sa pre x z (-oo,-1)U(0,oo)
a na derivaciu teda absolutna hodnota nema ziaden vplyv.

halogan · 06. 01. 2010 22:22

Výborně!

Takže si můžeš napsat první odrážku, že pro x z té množiny je derivace (...), někde výše jsi to napsal.

Teď už jen (-1, 0) a krajní body. Co tam?

mato.mago · 06. 01. 2010 22:25

↑ halogan:

Pre (-1,0) sa derivacia sprava ako pre by bol vyraz zaporny, teda myslim...
Teda: e^-((x^2)+1) * (-2x-1).

A v krajnych bodoch derivacia neexistuje?

halogan · 06. 01. 2010 22:41

↑ mato.mago:

Jen ti tam ujelo x. Viz reakce výše - ↑ jelena:.

Derivace v nulových bodech absolutní hodnoty je trochu ošemetná. V zásadě se počítá dvěma způsoby:

1) Z definice - je to složitější a pokud funkce v daném bodě není spojitá, tak je to i nezbytné.

2) Z věty o výpočtu jednostranné derivace (strana 16, věta 45). Vypočítáš si jednostranné derivace v obou bodech a pokud se budou vždy rovnat (zprava a zleva), tak funkce má v daném bodě derivaci. Pokud budou různé, tak budou existovat jen jednostranné.

mato.mago

↑ halogan:

Takze nieco taketo: $f^{\prime}(0)=\lim_{a\rightarrow0+}=e^{(x^2+x)}\cdot (2x+1)$

pre 0 a -1 zprava aj zlava.

halogan · 06. 01. 2010 23:06

↑ mato.mago:

No pozor. Bude to trochu složitější.

Pro nulu zprava budeme počítat s limotou té první derivace (pro x z (-oo, -1) U (0, oo)), ale zleva budeme potřebovat už tu derivaci pro (-1, 0).

Podobně (jen obráceně) to bude pro -1. Je to jasné?

mato.mago · 06. 01. 2010 23:11

↑ halogan:

Jasne. A v pripade, ze sa rovnaju hodnoty pre derivaciu zprava a zlava, tak je v tom bode derivacia, inak len jednostranne, ako si pisal.

Nuz, nezostava mi len sa Vam obom podakovat, velmi ste mi pomohli a Vasu pomoc si vazim.

Este raz velke VDAKA!

jelena · 07. 01. 2010 01:00

Také děkuji a kolegovi haloganovi velmi (mám už nějak moc dlůhů u kolegy - průběhy, derivace... :-) Mějte se hezky.

Matematické Fórum

#1 06. 01. 2010 20:53

Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#2 06. 01. 2010 21:14

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#3 06. 01. 2010 21:22

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#4 06. 01. 2010 21:32

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#5 06. 01. 2010 21:37

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#6 06. 01. 2010 21:39

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#7 06. 01. 2010 21:42

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#8 06. 01. 2010 21:47 — Editoval jelena (06. 01. 2010 21:47)

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#9 06. 01. 2010 21:48 — Editoval halogan (06. 01. 2010 22:00)

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#10 06. 01. 2010 21:56

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#11 06. 01. 2010 22:00

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#12 06. 01. 2010 22:03

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#13 06. 01. 2010 22:12

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#14 06. 01. 2010 22:16

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#15 06. 01. 2010 22:20

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#16 06. 01. 2010 22:22

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#17 06. 01. 2010 22:25

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#18 06. 01. 2010 22:41

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#19 06. 01. 2010 22:52 — Editoval mato.mago (06. 01. 2010 22:53)

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#20 06. 01. 2010 23:06

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#21 06. 01. 2010 23:11

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

#22 07. 01. 2010 01:00

Re: Derivacia vyrazu s absolutnou hodnotou

Zápatí