Matematické Fórum

pani Hradilova · 07. 02. 2008 08:24

..na skuske sme mali tento priklad, ani som si neskrtla..

Zadanie: Spojita dvojrozmerna nahodna premenna [X,Y] ma hustotu pravdepodobnosti f(x,y)=\frac12*e^-y v oblasti M={[x,y]; y<=\left x \right}. Vypocitajte disperziu nahodnej premennej.

prosim Vas o pomoc

plisna · 07. 02. 2008 14:03 — Editoval plisna (07. 02. 2008 14:05)

chtelo by to napsat znovu a lepe tu oblast M, prilis nerozumim tomu \left \right v jejim zapisu.

pokud chces vyraz napsat v texu, tak napis toto: [tex] vyraz [/tex]

pani Hradilova · 07. 02. 2008 16:19

v oblasti M={[x,y]; y<=absolutna hodnota x}

nakreslila som si graf IxI a tym som skoncila som, aach..

plisna · 07. 02. 2008 17:41

$DX = EX^2 - E^2X\nl EX = \int x \cdot f_X(x)\,{\rm d}x\nl EX^2 = \int x^2 \cdot f_X(x)\,{\rm d}x\nl E^2X = (EX)^2\nl f_X(x) = \int f(x,y) \,{\rm d}y$ , analogicky pro Y

pani Hradilova · 07. 02. 2008 18:21

vzorce....hm...to je fajn moc diky:):):)

a co s tou oblastou? ako to zabezpecit tak, aby sa to pocitalo prave pre danu oblast??

plisna · 07. 02. 2008 20:41 — Editoval plisna (07. 02. 2008 20:43)

ty hranice budou figurovat v mezich vyse uvedenych integralu

a mrkni se, jestli je ta simultanni hustota zadana tak, jak jsi uvedla vyse: $f(x,y)=\frac{1}{2}\textrm{e}^{-y}$ , je to skutecne funkce pouze promenne y?

pani Hradilova · 08. 02. 2008 07:54

obavam sa, ze prave urcit horne a dolne hranice v integraloch bude moj najvacsi problem, bez toho sa dalej neda nic spocitat, vobec tomu nerozumiem, existuje 'nieco', kde sa o tom docitam viac? mozno sa jedna len o nieco zo stredoskolskej latky..., ja to tam (zo zadania) nevidim..., ak tomu rozumiete, prosim o podrobnejsie vysvetlenie a mimoriadne vdacna budem aj pre pripad inych typov oblasti ako napr.: uhol, trojuholnik, elipsa, kruh, polkruh a pod.
vopred dakujem

zadanie hustoty pst je spravne

plisna · 09. 02. 2008 13:30 — Editoval plisna (09. 02. 2008 13:31)

tak ja jsem to zkousel pocitat a nevychazi me to moc dobre:

zacneme s vypoctem marginalni hustoty:

$f_X(x) = \int f(x,y) \, \textrm{d}y = \int_{-\infty}^x \frac{1}{2} \textrm{e}^{-y}\,\textrm{d}y = \dots = \infty, \qquad y \in \langle 0, \infty )$ , tedy viz obrazek: integrujeme podel modre carkovane cary cislo 1. problemem teda ale je, ze integral diverguje, coz cinni potize.

proto se zeptam: je skutecne oblast M definovana takto: $\left\{ [x,y]: \quad y \leq |x| \right\}$ ?

pani Hradilova · 09. 02. 2008 15:04

..ups, napisala som to nespravne. spravne je y>=IxI.

plisna · 09. 02. 2008 16:17 — Editoval plisna (09. 02. 2008 20:06)

tak v takovem pripade uz to lze spocist:

$f_X(x) = \begin{cases}\int_x^{\infty}\frac{1}{2}\textrm{e}^{-y}\,\textrm{d}y = \dots = \frac{1}{2}\textrm{e}^{-x} & x \geq 0\nl \int_{-x}^{\infty}\frac{1}{2}\textrm{e}^{-y}\,\textrm{d}y = \dots = \frac{1}{2}\textrm{e}^{x} & x \leq 0\end{cases}$

analogicky dale

$f_Y(y) = \begin{cases}\int_{-y}^y \frac{1}{2}\textrm{e}^{-y}\,\textrm{d}x = \dots = y \, \textrm{e}^{-y} & y \geq 0\nl 0 & y < 0\end{cases}$

potom

$EX = \int_{-\infty}^0 x \, \frac{1}{2}\textrm{e}^{x}\,\textrm{d}x + \int_0^{\infty} x \, \frac{1}{2}\textrm{e}^{-x}\,\textrm{d}x = \dots = 0\nl EY = \int_0^{\infty} y^2 \, \textrm{e}^{-y}\,\textrm{d}y = \dots = 2\nl EX^2 = \int_{-\infty}^0 x^2 \, \frac{1}{2}\textrm{e}^{x}\,\textrm{d}x + \int_0^{\infty} x^2 \, \frac{1}{2}\textrm{e}^{-x}\,\textrm{d}x = \dots = 2\nl EY^2 = \int_0^{\infty} y^3 \, \textrm{e}^{-y}\,\textrm{d}y = \dots = 6$

a pak uz jdeme do finale:

$DX = EX^2 - E^2X = 2\nl DY = EY^2 - E^2Y = 6$

plisna · 09. 02. 2008 16:25

jeste obrazek:

pani Hradilova · 09. 02. 2008 19:40

mam este otazku..., mozem?

pri tej hranicnej hustote f_Y(y) su hranice y, -y. preco?

inak dakujem za ochotu

plisna · 09. 02. 2008 20:34 — Editoval plisna (10. 02. 2008 09:56)

pri vypoctu marginalni hustoty $f_Y(y)$ obecne integrujeme podel modre usecky, tedy meze integralu jsou od $-x$ do $x$ , coz by nam komplikovalo vypocet - integrand je $\textrm{d}x$ a zaroven bychom meli integracni promennou i v mezich. ovsem z obrazku se snadno nahledne, ze vzdalenost bodu $[0,0]$ a $[x,0]$ je rovna vzdalenosti bodu $[0,0], [0,y]$ , proto $\int_{-x}^x \dots \, \textrm{d}x\Rightarrow \int_{-y}^y\dots\, \textrm{d}x$ , cimz do mezi dostaneme konstantu a muzeme klidne integrovat.