Matematické Fórum

Petr 91 · 17. 01. 2010 18:31

Dobrý den, potřebuji poradit s postupem při výpočtu tečny k elipse: $\frac{(x-4)^2}6+\frac{(y+1)^2}3=1$ s P(-3,3) děkuji

marnes · 17. 01. 2010 18:47

↑ Petr 91:
$\frac{(x_0-4)(x-4)}6+\frac{(y_0+1)(y+1)}3=1$

1)za x0 a y0 dosadíš souřadnice bodu P
2) vyjádříš z této rovnice x nebo y
3) dosdíš do rovnice elipsy a vyřešíš dva body A a B
4) tečny jsou přímky PA a PB

fishkiller · 17. 01. 2010 18:59

pokud je P na elipse(vím, že není ,u jiných příkladů ti to pomůže) tak si vyjádři elipsu implicitně (tvar y=...) zderivuj a dosaď za xt a yt jinak to řeš obecným svazkem y=kx+q (tady taky asi na prd) tady to půjde vektorovým svazkem (docela složitý) takže sory asi ti neporadim :(

jelena · 17. 01. 2010 19:19

↑ fishkiller:

Zdravím,

také mi vychází, že P není na elipse, ale pro tento případ kolega Petr 91 již obdržel postup, s rozdílem, že v tomto zadání bude hledat přímku v zápisu, jak doporučuješ: y=kx+q, jak je uvedeno zde. Autorům řešení děkuji.

Petr 91 · 17. 01. 2010 22:36

můžete mi prosím Vás poslat postup, pořád mi to nevychází děkuju

jelena · 18. 01. 2010 09:41

↑ Petr 91:

Zdravím, zkoušela jsem úpravu - ne, že by to bylo neřešitelné, ale je to moc rozsahlé.

Na ruske Wikipedii jsem našla vzorec pro tečnu: $y=kx \pm \sqrt{k^2a^2 + b^2}$ , což společně s rovnici přímky procházející bodem P ( $y=(x+3)+3$ ) by mohlo vést k výsledku rychlej. Ovšem odvození vzorce neznám, ani nevím, zda jsem ho v tabulkách viděla.

Zadání, předpokládám, je v pořádku (nechtěli třeba parabolu?) - třeba někdo z kolegů bude mít rozumnější nápad. Děkuji.

zdenek1 · 18. 01. 2010 10:34

↑ Petr 91:
Jak psala ↑ jelena:, je to moc dlouhé. Tak jen stručně.
Rovnici $\frac{(x-4)^2}6+\frac{(y+1)^2}3=1$ upravíš na tvar $x^2+2y^2-8x+4y+12=0$ a tečnu budeš hledat ve tvaru $y=kx+q$ . Dosadíš.
$x^2+2(kx+q)^2-8x+4(kx+q)+12=0$ . Roznásobíš a upravíš na tvar
$(2k^2+1)x^2+2(2kq+2k-4)x+(2q^2+4q+12)=0$
Toto je kvadratická rovnice, jejíž diskriminant musí být nula.
$\frac D4=(2kq+2k-4)^2-(2k^2+1)(2q^2+4q+12)=0$
Opět roznásobíš a pokrátíš co se dá.
$8kq+10k^2+8k+q^2+2q-2=0$

Nyní, protože tečna prochází bodem $P[-3;3]$ , bude platit $3=-3k+q\ \Rightarrow\ q=3+3k$ . Dosadíš
$8k(3+3k)+10k^2+8k+(3+3k)^2+2(3+3k)-2=0$
Upravíš
$43k^2+56k+13=0$
Vyřešíč kvadratickou rovnici
$k_1=-1$ nebo $k_2=-\frac{13}{43}$
Dopočítáš
$q_1=0$ , $q_2=\frac{90}{43}$
Tečny jsou $t_1:x+y=0$ , $t_2:13x+43y-90=0$

Cheop · 18. 01. 2010 13:42 — Editoval Cheop (18. 01. 2010 14:57)

↑ Petr 91:
Rovnice elipsy:
$x^2+2y^2-8x+4y+12=0$ je to jenom upravená ta Tvoje původní.
Rovnice tečen:
$y=kx+q$
$y=kx+3k+3$ po dosazení bodu $P(-3\,;\,3)$
Když dosadíme za $y$ respektive za $y^2$ do rovnice elipsy dospějeme ke kvadratické rovnici: (upravu do níže uvedeného stavu máš za domácí úkol)
$x^2(2k^2+1)+x(12k^2+16k-8)+18k^2+48k+42=0$
Aby to byly tečny pak diskriminant $D=0$ tedy:
$(12k^2+16k-8)^2-4(2k^2+1)(18k^2+48k+42)=0$ po úpravě: (tu úpravu máš taky za domácí úkol)
$43k^2+56k+13=0\nlk_1=-\frac{13}{43}\nlk_2=-1$
Dopočítáme rovnice tečen:
Pro $k_1=-\frac{13}{43}$ dosadíme $k_1$ do rovnice: $y=k_1x+3k_1+3$ a dostaneme:
$y=-\frac{13x}{43}-\frac{39}{43}+3\nlt_1\,:\quad\,13x+43y-90=0$
Pro $k_2=-1$ dosadíme $k_2$ do rovnice: $y=k_2x+3k_2+3$ a dostaneme:
$y=-x-3+3\nlt_2\,:\quad\,x+y=0$
Tečny jsou:
$t_1\,:\quad\,13x+43y-90=0\nlt_2\,:\quad\,x+y=0$
Obrázek:

jelena · 18. 01. 2010 18:15

↑ zdenek1:, ↑ Cheop:

Zdravím vás a můj obdiv :-)

Uvažovala jsem nad vzorcem z ruske Wikipedie ↑ v příspěvku: a je asi nepoužitelný, jelikož nezohledňuje střed elipsy (zřejmě bude platný jen pro střed (0,0)).

A tak jsem došla, že možna jednodušší je posunutí středu zadané elipsy (s tím celé elipsy) do bodu (0, 0), ve stejném směru posuneme bod P do nového bodu P_1 a najdeme směrnici k. Směrnici pak použijeme pro přímku procházející bodem P (najdeme jeji q). Může být a má to smysl? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 17. 01. 2010 18:31

tečna k elipse

#2 17. 01. 2010 18:47

Re: tečna k elipse

#3 17. 01. 2010 18:59

Re: tečna k elipse

#4 17. 01. 2010 19:19

Re: tečna k elipse

#5 17. 01. 2010 22:36

Re: tečna k elipse

#6 18. 01. 2010 09:41

Re: tečna k elipse

#7 18. 01. 2010 10:34

Re: tečna k elipse

#8 18. 01. 2010 13:42 — Editoval Cheop (18. 01. 2010 14:57)

Re: tečna k elipse

#9 18. 01. 2010 18:15

Re: tečna k elipse

Zápatí