Matematické Fórum

Katarina · 23. 01. 2010 07:50

Ahoj, mohla bych poprosit o radu??
je příklad:

$\int\frac{2x^2-x-5 }{x^4+x^2}$ , který je podle mě nejlepší spočítat pomocí rozkladu na parciální zlomky. Počítala jsem to s pomocí progrmu MAW a snažila se to pochopit.

1. $\int\frac{x+7}{x^2+1}-\frac{1}{x}-\frac{5}{x^2}dx$ tady mi je jasná úprava jmenovatele x^2(x^2+1) => x; x^2; x^2+1 ale u toho čitatele vůbec nevím jak mám postupovat, abych se dopracovala k tomuto.

2. $-ln|x|+\frac{5}{X}+\int\frac{x+7}{x^2+1}dx$ to je mi jasné, co jde, tak se integruje, zbytek se dále upravuje

3. $-ln|x|+\frac{5}{X}+\int\frac{x}{x^2+1}+\frac{7}{x^2+1}dx$ to je mi jasné

4. $-ln|x|+\frac{5}{X}+\frac{1}{2}ln(x^2+1)+7arctg(x)+c$ tady mi není jasné, jak se dopracovali k té 1/2

Moc vás prosím o pomoc s vysvětlením bodu 1. a 4. Jsem z toho už nešťastná, ve skriptech je to popisované tak, že se do toho jen zamotávám a nejsem schopná s tím sama pohnout. Předem vám moc děkuji.

jelena · 23. 01. 2010 08:30

↑ Katarina:

Zdravím,

k 1) - je potřeba se podívat na postup rozkladu jmenovatele na parciální zlomky a jak se zapisuje čitatel s ohledem na rozklad jmenovatele na činitele - v nášem případě máme

x^2 ma dvounásobný kořen (x=0)
x^2+1 má komplexní kořeny.

Jednotlivé zlomky sestavíme tak, abychom při zpětném sestavení společného jmenovatele nic neztratili z původního jmenovatele (zkus si zpět sestavit společný jmenovatel zlomků z rozkladu).

Více podrobně - viz odkazy odsud

4) je použita substituce pro jimenovatel: $x^2+1=t$ , $2xdx=dt$ , odsud $dx=\frac{dt}{2}$ , integrujeme tedy $\int \frac{dt}{2t}$

Mám trochu výčitky - Ty máš vždy tak přehledně a srozumitelně naformulované dotazy, děkuji :-) - a já mám pocit, že odpovídám velmi stručně. Stačí tak? Případně se zeptej - co ještě je potřeba dovysvětlit

Katarina · 23. 01. 2010 08:40

↑ jelena: jdu to zkoušet, když bude potřeba ozvu se.
Nemusíš mít vůbec výčitky. Já jsem vděčná za každou radu a pomoc tady od tebe i od ostatních. Snažím se na to přijít sama a předložit svůj postup, nechci sem dávat jen zadání a vypočítejte to , to ne .... ty, Halogan a spousta ostatních, jste mi pomohli i s přípravou na příjimačky a za to jsem vám moc vděčná.

Katarina · 23. 01. 2010 09:48

↑ jelena:

Už mi to začíná být jasné.
$\frac{2x^2-x-5 }{x^4+x^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x^2+1}$
$\frac{2x^2-x-5 }{x^4+x^2}=\frac{Ax(x^2+1)+Bx^2+B+Cx^2}{x^2(x^2+1)}$ to si myslím, že mám správně, teď můžu odstranit jmenovatele a dostanu
$2x^2-x-5=Ax^3+Ax+Bx^2+B+Cx^2$
$2x^2-x-5=x^2(B+C)+B+Ax+Ax^3$ ... tady už mám asi někde chybu, protože dál mi to nevychází
2=B+C .....to jsem určila tak, že $x^2$ je vlevo 2 krát, tak proto 2= A+B
-5=B ........stejně tak B, vlevo je konstanta -5
ale co s tím $Ax+Ax^3$ .... ale tady je u A jednou x a jednou $x^3$ a to už je zmatený

Buď mám někde chybu ve výpočtu nebo nevím.

jelena · 23. 01. 2010 09:54

↑ Katarina: u posledního zlomku jsou komplexní kořeny - proto v čitateli má být Cx+D

Katarina · 23. 01. 2010 11:08

↑ jelena:
aha, takže to má vypadat takto:

$2x^2-x-5=Ax^3+Ax+Bx^2+B+Cx^3+Cx+Dx^2+D$ a z toho upravím na:

$2x^2-x-5=x^3(A+C)+x^2(B+D)+x(A+C)+B+D$

0=A+C
2=B+D
-1=A+C
-5=B+D

sečtu si postupně
0=A+C
-1=A+C

z toho
-1=2A+2B;

2=B+D
-5=B+D

z toho
-3=B+D

ale tyto úpravy mi myslím nijak nepomohou

jelena · 23. 01. 2010 11:36 — Editoval jelena (23. 01. 2010 11:38)

Zkus to ještě, prosím, překontrolovat - mi to vychází takto (na společný jmenovatel):

$\frac{2x^2-x-5 }{x^4+x^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+1}=\frac{Ax(x^2+1)+B(x^2+1)+(Cx+D)x^2}{x^2(x^2+1)}$

souhlasí to?

Katarina · 23. 01. 2010 11:39

↑ jelena:

tenhle příklad mi nejde nějak dotáhnout do konce, ale jinak si myslím, že už chápu princip. Zkoušela jsem ted vypočítat jiný příklad a myslím, že to mám snad dobře:

$\int\frac{7x^2-7x+3 }{x^3-3x^2}dx$
$\frac{7x^2-7x+3 }{x^3-3x^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-3}$
${7x^2-7x+3 }=Ax(x-3)+Bx-3B+Cx^2$
${7x^2-7x+3 }=x^2(A+C)+x(B-3A)-3B$

7=A+C
-7=B-3A
3=-3B

z toho
B=-1
A=2
C=5

dosadím
$\int\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}+\frac{5}{x-3}dx$
$2ln(x)+\frac{1}{x}+5ln(x-3)+c$

Mám to prosím dobře?? Jestli jo, tak vážně moc děkuji a ještě zkusím přijít na to, co s tím prvním příkladem

Katarina · 23. 01. 2010 11:41

↑ jelena: jé máš pravdu já to Cx+D roznásobila tím jmenovatelem xna druhou +1 a měla jsem to roznásobit jen xna druhou

moooooc děkuji

jelena · 23. 01. 2010 11:58

↑ Katarina:

děkuji za "děkuji", za přehledné otázky a také za poděkování i pro milého kolegu ↑ od Katariny:. Když to vezmu důsledně, v porovnání s milým kolegou jsem velmi upovídána.

↑ Katarina: - v pořádku, můžeš to kontrolovat u strojů nebo krokově v MAW, případně sem dej odkaz, v čem se rozcházíte.

Ať se vede.

Katarina · 23. 01. 2010 12:01

už mi vyšel i ten první příklad - hurááááááááá. Chce se mi brečet radostí

Matematické Fórum

#1 23. 01. 2010 07:50

Integrály - rozklad na parciální zlomky

#2 23. 01. 2010 08:30

Re: Integrály - rozklad na parciální zlomky

#3 23. 01. 2010 08:40

Re: Integrály - rozklad na parciální zlomky

#4 23. 01. 2010 09:48

Re: Integrály - rozklad na parciální zlomky

#5 23. 01. 2010 09:54

Re: Integrály - rozklad na parciální zlomky

#6 23. 01. 2010 11:08

Re: Integrály - rozklad na parciální zlomky

#7 23. 01. 2010 11:36 — Editoval jelena (23. 01. 2010 11:38)

Re: Integrály - rozklad na parciální zlomky

#8 23. 01. 2010 11:39

Re: Integrály - rozklad na parciální zlomky

#9 23. 01. 2010 11:41

Re: Integrály - rozklad na parciální zlomky

#10 23. 01. 2010 11:58

Re: Integrály - rozklad na parciální zlomky

#11 23. 01. 2010 12:01

Re: Integrály - rozklad na parciální zlomky

Zápatí