Matematické Fórum

Sandra CH · 01. 08. 2007 07:55

Vypočtěte z definice (tj. pomocí limity) derivaci funkce f(x) = x^3 + x v bodě x=2

Prosím o vypočítání a podrobném vysvětlení derivace. Moc děkuji!

Lishaak · 01. 08. 2007 10:45

Tak pojdme na to. Vime, ze podle definice, pro derivaci funkce g v bode a plati:

g'(a) = lim{x->a} (g(x) - g(a))/(x-a)

takze pro g(x) = x^3 + x, a=2 nam vyjde

g'(2) = lim{x->2} (x^3 + x - 2^3 + 2)/(x-2) = lim{x->2} (x^3 + x - 10)/(x-2)

Cili tuto limitu potrebujme spocitat. V ramci treningu to zkus sama, a kdyby to neslo, tak pisni....

Sandra CH · 02. 08. 2007 13:38

díky, zkusím to

Sandra CH · 20. 08. 2007 06:56

Tak můj výpočet:
Nejprve jsem to chtěla dělit x^3 a vyšla mi nula, ale pak jsem to škrtla. Je to limita bodu x jdoucí ke 2, takže jsem se rozhodla tu dvojku dosadit za x. A vyšlo mi:

(2^3 + 2 - 10) / (2 - 2) = (0) / (0) = 0

je to dobře? děkuji.

jelena · 20. 08. 2007 07:48

Zdravim, pokud dochazis k vysledku 0/0, tak neni mozne z toho udelat vysledek 0. Tady pomuze (urcite) l´Hospitalovo pravidlo - zkus ho pouzit

Kondr · 20. 08. 2007 09:24

L'Hospitalovo pravidlo nám v tomto případě říká, že
$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dx}}{\frac{dx}{dx}}$ , jmenovatel velkého zlomku je 1 a máme triviální identitu.

L'Hospitalovo pravidlo se používá pro zjednodušení složitých výrazů typu 0/0 (nebo nekonečno/nekonečno) a derivaci používá jako svůj nástroj, nelze jej proto použít při odvozování pravidel pro derivace.

Zde doporučuji tento postup:
v definičním vztahu
$g'(a) = \lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x) - g(a)}{x-a}$
zasubstituujeme x-a=h. Dostaneme
$g'(a) = \lim_{a+h\rightarrow a}\frac{g(a+h) - g(a)}{h}$
$g'(a) = \lim_{h\rightarrow 0}\frac{g(a+h) - g(a)}{h}$
Pro naši funkci f tedy

Pokud se ti nelíbí použitá substituce, můžeš všude místo h psát x-a, ale takto mi to přijde přehlednější.

jelena · 20. 08. 2007 10:44

Kondr napsal(a):
L'Hospitalovo pravidlo nám v tomto případě říká, že
$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dx}}{\frac{dx}{dx}}$ , jmenovatel velkého zlomku je 1 a máme triviální identitu.

L'Hospitalovo pravidlo se používá pro zjednodušení složitých výrazů typu 0/0 (nebo nekonečno/nekonečno) a derivaci používá jako svůj nástroj, nelze jej proto použít při odvozování pravidel pro derivace.

mela jsem na mysli pouziti L'Hospitala pro vypocet lim{x->2} (x^3 + x - 10)/(x-2) - tady to prece bude fungovat (vysledek se shoduje s tebou).
Samozrejme, pokud nacvicujeme derivaci z definice, tak to jeste "neumime" pouzit a hledame jinou cestu. Dekuji za upozorneni, neuvedomila jsem si to.

Kondr · 20. 08. 2007 11:40

jelena napsal(a):
mela jsem na mysli pouziti L'Hospitala pro vypocet lim{x->2} (x^3 + x - 10)/(x-2) - tady to prece bude fungovat

Rozhodně jsem nechtěl tvrdit, že to neplatí. Jen jsem chtěl upozornit na to, že převedení derivace na limitu a následné použití L'Hospitala je vždy to samé, jako bychom původní předpis funkce dělili jedničkou.

Samozřejmě kdyby bylo v zadání "určete lim{x->2} (x^3 + x - 10)/(x-2)" je nelepší to L'Hospitalem převést na problém určení derivace. Opačný převod (tj. hledání nějaké derivace pomocí definiční limity) bych nikdy nedělal, pokud mě k tomu nedonutí zadání.

Matematické Fórum

#1 01. 08. 2007 07:55

Derivace

#2 01. 08. 2007 10:45

Re: Derivace

#3 02. 08. 2007 13:38

Re: Derivace

#4 20. 08. 2007 06:56

Re: Derivace

#5 20. 08. 2007 07:48

Re: Derivace

#6 20. 08. 2007 09:24

Re: Derivace

#7 20. 08. 2007 10:44

Re: Derivace

Kondr napsal(a):

#8 20. 08. 2007 11:40

Re: Derivace

jelena napsal(a):

Zápatí