Matematické Fórum

Ilona · 26. 01. 2010 23:54

Mám už jen poslední příklad, se kterým si nevím rady - ostatní už jsem zdárně spočítala. Částečně i tento příklad mám spočítaný, ale vychází mi dlouhé a složité vzorce :( Příklad zní: Pravoúhlý trojúhelník má délky odvěsen o velikosti 3x-1 a x+4. Určete, jak závisí obsah a obvod tohoto trojúhelníku na x, tj. funkce S(x) a D(x). Určete i inverzní funkce x(S) a x(D) a všechny nakreslete. Dále zjistěte velikost vnitřních úhlů tohoto trojúhelníku alfa a beta jako funkce proměnné x, tj.funkce alfa(x) a beta(x). Prosím vypočítali byste mi ho někdo? Děkuji

zdenek1

↑ Ilona:
$S(x)=\frac12(3x-1)(x+4)$
$x(S)=\frac{-11+\sqrt{169+24S}}6$
$O(x)=4x+3+\sqrt{10x^2+2x+17}$
$x(O)=\frac{4O-11-\sqrt{10O^2-52O+169}}6$
$\alpha(x)=\arctan\left(\frac{3x-1}{x+4}\right)$
$\beta(x)=\arctan\left(\frac{x+4}{3x-1}\right)$

Ilona · 27. 01. 2010 08:28

Nějak se nemůžu dohrabat k těm inverzním funkcím :( Prosím, napsal byste mi postup, jak se k tomu dostanu? Děkuji

jelena · 27. 01. 2010 09:31 — Editoval jelena (27. 01. 2010 09:42)

↑ Ilona:

Zdravím, doporučuji si funkci S(x) na zápis: $S(x)=(3x-1)(0,5x+2)=1.5$x+\frac{11}{6}$^2-\frac{169}{24}$ (za bezchybnost úpravy v tuto hodinu neručím, prosím překontrolovat), vyjádření inverzní už neměl být problém. Stačí tak?

Ilona · 27. 01. 2010 09:59

Právě, že tady k tomu se nemůžu dostat. Vím, že musím použít doplnění na čtverec, ale nevychází mi to tak vůbec. V závorce s druhou mocninou mi vychází znaménko +. A za závorkou mi taky vychází jiné číslo (o dost větší). Můžete rozepsat to vaše? možná zase dělám někde chybu.

jelena · 27. 01. 2010 10:04

↑ Ilona:

"plus v závorce" jsem opravila, omluva. Na rozepisování nemám čas, také omluva - napíš, prosím svůj postup, to se překontroluje. Děkuji.

Ilona · 27. 01. 2010 10:34

zdenek1 · 27. 01. 2010 10:36

↑ Ilona:
$S=\frac12(3x^2+11x-4)$
$2S=3(x^2+\frac{11}3x-\frac43)=3\left[x^2+2\frac{11}6x+\left(\frac{11}6\right)^2-\left(\frac{11}6\right)^2-\frac43\right]=$
$3\left[\left(x+\frac{11}6\right)^2-\frac{121}{36}-\frac43\right]=3\left[\left(x+\frac{11}6\right)^2-\frac{169}{36}\right]$
$\frac23S+\frac{169}{36}=\left(x+\frac{11}6\right)^2$
$\pm\sqrt{\frac23S+\frac{169}{36}}=x+\frac{11}6$
Ale protože $S>0$ a $x>\frac13$ , bud eplatit jen $+$ .

Ilona · 27. 01. 2010 10:39

Už vidím chybu - když odečítám, nemám mít před 1,5 mínus, ale plus. Takže to vyjde -169/24

Ilona · 27. 01. 2010 10:46

Mě vyšlo 24 ne 36 :( Ale ten obvod spočítat neumím :( Ta odmocnina mi nejde :( )

jelena · 27. 01. 2010 10:54

$S(x)=1.5$x+\frac{11}{6}$^2-\frac{169}{24}$ levou a pravou stranu rovnice násobíme 2/3 (abychom se zbavily (my dvě) 1,5 před závorkou), kolega Zdeněk tuto úpravu provědl ihned na úvod úprav.

Obvod: O=a+b+c, c je z Pythagor. věty. Která odmocnina nejde? Děkuji.

Ilona · 27. 01. 2010 10:57

no když dosadím délky stran (jedna má proměnnou x pod odmocninou). Vypočítat obvod není žádný problém, ale ta inverzní funkce je :(

zdenek1 · 27. 01. 2010 11:11

↑ Ilona:
$O=4x+3+\sqrt{10x^2+2x+17}$
$O-4x-3=\sqrt{10x^2+2x+17}$
$(O-4x-3)^2=10x^2+2x+17$
$O^2-8Ox-6O+16x^2+24x+9=10x^2+2x+17$
$6x^2+2(11-4O)x+O^2-6O-8=0$
Diskriminant
$\frac D4=(11-4O)^2-6(O^2-6O-8)=121-88O+16O^2-6O^2+36O+48=10O^2-52O+169$
$x=\frac{4O-11\pm\sqrt{10O^2-52O+169}}6$

Teď musíš vybrat $+$ nebo $-$ . Já jsem si to načrtnul a vybíral podle toho. Chytřejší metoda mě nenapadla.