Matematické Fórum

p.r.i.n.cess · 01. 02. 2010 12:37

Mohl by mi někdo pomoct s touto limitou? Vůbec si s ní nevím rady:
$\lim_{n\rightarrow\infty}=\frac{1+4+9+...+n^2}{n^3+sqrt{n}+2010n$

Olin · 01. 02. 2010 12:52

Na čitatele použít vzorec
$1+4+\dots+n^2 = \frac 16 (2n+1)(n+1)n$
a dál jako všechny limity podílu polynomů.

p.r.i.n.cess · 01. 02. 2010 13:23

Proč zrovna tento vzorec? Když si do něj dosadím třeba 4, tak mi to nevyjde.

Olin · 01. 02. 2010 13:26 — Editoval Olin (01. 02. 2010 13:27)

Vskutku?
$1+4+9+16 = 30\nl \frac 16 (2\cdot4+1) \cdot (4+1) \cdot 4 = 30$ .

p.r.i.n.cess · 01. 02. 2010 13:28

jo aha :-) já jsem zapomněla k tomu přičíst i ty členy předtím. Díky

p.r.i.n.cess · 01. 02. 2010 13:35

Mohl by to zkusit někdo vypočítat, jestli to mám dobře? Mně vyšel výsledek 0.

Rumburak · 01. 02. 2010 14:10

↑ p.r.i.n.cess:
Mělo by vyjít 1/3 .

Limitu tohoto typu počítáme tak, že mezi jednotlivými členy čitatele i jmenovatele nalezneme nejvyšší mocninu proměnné, podle níž se limituje,
a touto mocninou vydělíme čitatele i jmenovatele. Vzniklý výraz nám dá přehled o tom, jak se funkce (resp. posloupnost) chová v okolí nekonečna.

V našem případě tedy čitatele i jmenovatele vydělíme výrazem n^3 , u něhož v čitaleli je koeficient 1/3 , jak plyne z rovnosti
$1+4+\dots+n^2 = \frac 16 (2n+1)(n+1)n$ a algebreické úpravy její pravé strany,
ve jmenovateli pak má člen třetího stupně koeficient 1 . Po vydělení má čitatel tvar 1/3 + f(n) , jmenovatel 1 + g(n) , kde

lim f(n) = lim g(n) = 0 , takže celkově dostáváme lim [1/3 + f(n) ] / [1 + g(n)] = [1/3 + 0 ] / [1 + 0] = 1/3 .

p.r.i.n.cess · 01. 02. 2010 16:28

↑ Rumburak:
A proč v čitateli zbyde 1/3? Když to vydělím výrazem n^3, tak mi v čitateli vyjde jeden člen 1/(n^2), což je 0. Takže v čitateli budu mít vždycky 0. Nebo snad ne?

jarrro · 01. 02. 2010 16:34

↑ p.r.i.n.cess:keď roznásobíš čitateľa tak ti vyjde $\frac{n^3}{3}+\frac{n^2}{2}+\frac{n}{6}$

p.r.i.n.cess · 01. 02. 2010 16:37

↑ jarrro:
nenapadlo mě, že to musím ještě roznásobit. Díky

p.r.i.n.cess · 01. 02. 2010 16:45

Ještě jeden dotaz. Výsledek této limity je 1/4?
$\lim_{x\rightarrow16}\frac{\sqrt[4]{x}-2}{sqrt{x}-4$

halogan · 01. 02. 2010 16:54

↑ p.r.i.n.cess:

Ano.

Matematické Fórum

#1 01. 02. 2010 12:37

limity

#2 01. 02. 2010 12:52

Re: limity

#3 01. 02. 2010 13:23

Re: limity

#4 01. 02. 2010 13:26 — Editoval Olin (01. 02. 2010 13:27)

Re: limity

#5 01. 02. 2010 13:28

Re: limity

#6 01. 02. 2010 13:35

Re: limity

#7 01. 02. 2010 14:10

Re: limity

#8 01. 02. 2010 16:28

Re: limity

#9 01. 02. 2010 16:34

Re: limity

#10 01. 02. 2010 16:37

Re: limity

#11 01. 02. 2010 16:45

Re: limity

#12 01. 02. 2010 16:54

Re: limity

Zápatí