Matematické Fórum

Edit: Lukas byl rychlejsi, ale uz to tu necham;-)



Ahoj, jdeš k Brouskovi na zkoušku z algebry, co?:-)
Hele v těch skriptech od Teskovy je to napsaný strasne slozite, ale on po tobe chce jen doplneni na ctverec podle vzorce:
(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz

Takze v zavorce bude (ax₁ + bx₂ + cx₃). Ty koeficieny urcis tak, tak aby ses zbavila vsech clenu, ktere obsahuji x₁. :
a = odmocnina z koeficientu u x₁² = odmocnina ze 4 = 2
b = (koeficient u  x₁x₂) / koeficient u  x₁² / 2 = -4/2/2 = -1
c = (koeficient u  x₁x₃)  / koeficient u  x₁² / 2 = 8/2/2 = 2

Tohle nacpes do zavorky a spocitas co ti zbylo mimo ni:
4x₁² + x₂² + 4x₃² - 4x₁x₂ + 8x₁x₃ - 5x₂x₃ = (2x₁ - x₂ + 2x₃)²  - x₂x₃

Zaklad uz mas a ted zbyva jen clen -x₂x₃ vyjadrit jako soucet ctvercu. Mam na to takovou fintu;-)

-x₂x₃ = 1/4 (x₂ - x₃) - 1/4 (x₂ + x₃)

Takze vysledek je:
(2x₁ - x₂ + 2x₃)² + 1/4 (x₂ - x₃) - 1/4 (x₂ + x₃)

Nevim jestli je to pochopitelne, kdyztak se ptej...

↑ jakn:
Patrně ta finta měla být , to už je pravda. Tak jak jsi to napsal to pravda není, nehledě k tomu, že ve výsledku nejsou ty požadované čtverce.
Pokud začneš doplňovat podle x_2, tak se ty čtverce neztratí, ale krásně vyjdou.

Moc prosím můžete mi někdo vysvětlit tu fintu? a jak má vypadat teda moje odpověď? :) zítra jdu ke zkoušce, moc prosím

↑ Benny.RxT: Až na překlepy ;) (za závorkami má být ²).

↑ Benny.RxT:http://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_matrix#Negative-definite.2C_semidefinite_and_indefinite_matrices
Pokud je rozklad na čtverce tvaru , je pozitivně definitní, pokud je negativně definitní, pokud se znaménka střídají pak indefinitní. Pokud je v rozkladu jen jeden čtverec nebo dva se stejným znaménkem, jde o formu pozitivně nebo negativně semidefinitní.

↑ Benny.RxT: Ne. Zde se znaménka střídají.

Mělo by ti vždy vyjít pouze tolik čtverců, kolik je proměnných. Pokud jich je víc, výsledek o definitnosti nic nevypovídá.
x₁² + 3x₂² + 4x₁x₂ - 2x₁x₃ - 6x₂x₃=(x₁ + 2x₂ - x₃)² -(x₂+3x₃)²+ 8x₃²

↑ jannie:
Ahoj. Jestli ten "vzorec" dobře chápu, pak se myslí ten koeficient v té závorce cos stvořil.

Ale není potřeba se to učit zpaměti, stačí si být vědom toho, že čtverec nějakého součtu se rovná součtu čtverců všech členů + dvakrát součin každého s každým, tj. (jak známo), , atd. Potom snadno přijdeš na to, jaký koeficient tam dát, aby tam ten příslušný součin s prvním členem byl -4krát.

Je to jasné?

↑ Asinkan: A tento příspěvek pomáhá k rozkladu na čtverce jak? :)

Ahojte, prosím vás, potrebovala by som zistiť pozitívnu, negatívnu definitnosť alebo pozitívnu, negatívnu semidefinitnosť nejakej kvadratickej formy.
Tvrdila som jednému profesorovi, že z nezápornosti subdeterminantov (teda aspoň jeden subdeterminant by sa mal rovnať 0, ak dobre rozumiem) matice kvadratickej formy vyplýva kladná semidefinitnosť kvadratickej formy. A on mi zadal úlohu, aby som svoje tvrdenie buď podložila dôkazmi alebo našla kontrapríklad, čiže nájsť takú kvadratickú formu, kde by sa žiadny subdeterminant matice nerovnal 0 a súčasne by bola táto kvadratická forma pozitívne semidefinitná.
Prosím, neviete niekto, či naozaj platí to, že ak sú subdeterminanty matice nezáporné, či z toho už vyplýva, že kvadratická forma je pozitívne semidefinitná alebo môže existovať aj taká kvadratická forma, ktorej subdeterminanty nebudú nulové a zároveň bude táto kvadratická forma pozitívne semidefinitná?
Lebo som našla na internete, že ak je sú subdeterminanty matice kladné, tak z toho už vyplýva pozitívne definitnosť...
A pomýlilo ma aj to, že keď určujeme pomocou Hessovej matice (druhé derivácie) lok. extrémy, tak tiež sme to brali tak, že ak nám vyjde nejaký subdeterminant Hessovej matice nulový, tak sa nedá zistiť definitnosť matice a tým pádom sme museli zvoliť iný spôsob na zistenie extrémov...
Zakaždým som však skúsila vytvoriť maticu, ktorej minimálne jeden subdeterminant bol nulový, vždy som dostala pozitívne semidefinitnú maticu. Prosím vás o pomoc :-) Dúfam, že je zrozumiteľné to, čo píšem...