Matematické Fórum

kesydi · 28. 01. 2010 15:45 — Editoval Kondr (28. 01. 2010 16:59)

Ahoj všichni!

Potřebovala bych pomoct s příkladem: Proč existuje právě pět platónských těles?

Já jsem to řešila následovně podle tohohle:

s tím, že jsem do té počáteční nerovnice pro pravidelné mnohostěny dosadila n=3 (což je trojúhelník) takže mi vyšlo, že m<6 a z toho jsem usoudila, že $m \in {3,4,5}$

Jenže mám problém - potřebuji tu nerovnici 2(m+n)-mn>0 odněkud odvodit a já nevím odkud.
Zároveň ji musím nějak víc vyřešit, aby nakonec opravdu vyplynulo, že těch těles může být jenom pět.

EDIT: aby se nahrál obrázek, místo mezer v názvu třeba psát %20 (lépe ukládat pod názvem bez mezer)

geronte · 28. 01. 2010 15:53

Protoze v kazdem dalsim pripade by v bode dotyku potom meli pravidelne n-uhelniky soucet vnitrnich uhlu vetsi nebo roven 360°. A tedy by uz nemohlo vzniknout nejen platonske, ale vubec zadne teleso.

petrkovar · 28. 01. 2010 21:19

↑ kesydi:Rovnice 2(m+n)-mn>0 se odvodí ze soustavy tří rovnic o třech neznámých:
1) Eulerův vzorec
2) princip sudosti
3) výpočet počtu hran přes počet hran každé stěny
Soustava se dvěma parametry (m..počet hran každé stěny, n počet hran incidentích s každým vrcholem) se vyřeší a protože řešení musí být celá čísla, vypadne zmíněná podmínka.

kesydi · 29. 01. 2010 14:46 — Editoval kesydi (29. 01. 2010 15:33)

↑ petrkovar:
Dobře, přiznávám, jsem dutohlav.

Eulerův vzorec - budiž : v - h + s = 2
O principu sudosti slyším poprvé, tak jsem hledala - jak se mám proboha z tohohle: dostat k něčemu rozumnýmu (teda jestli je to to co jsi myslel).
Výpočet počtu hran přes počet hran každé stěny...emť..tím myslíme co?

musixx · 29. 01. 2010 15:23 — Editoval musixx (29. 01. 2010 15:26)

↑ kesydi: Model tělesa můžeš vnímat jako graf, kde vrcholy tělesa jsou uzly grafu a hrany tělesa jsou hrany v grafu. Takový graf bude bez smyček, a tedy proto když sečteš stupně všech uzlů v celém grafu, tak musíš dostat dvojnásobek počtu hran.

petrkovar · 29. 01. 2010 16:15

↑ kesydi:Je potřeba uvědomit si, co znamenají jedntlivé symboly v principu sudosti. Třeba v je nějaký vrchol a je to něco jiného, než "v" v Eulerově vzorci. Dále $|E|$ je počet hran, který tu už máme označený h. A konečně $deg(v)$ už tu máme taky pod jiným písmenkem, jakým?

kesydi · 29. 01. 2010 16:24

↑ petrkovar: typuju S :) Takže když to přepíšu "do naší řeči" je to vlastně s = 2h?

petrkovar · 29. 01. 2010 18:54

↑ kesydi: $deg(v)$ je počet hran "u každého vrcholu".

kesydi · 30. 01. 2010 13:10

aha, takže mám n=2h. Můžeš mi prosím říct ještě tu třetí rovnici, abych to mohla nějak vypočítat?

petrkovar · 31. 01. 2010 21:20

↑ kesydi:Ne, n=2h není správně. n je počet hran u JEDNOHO vrcholu a 2h je počet hran CELÉHO mnohostěnu . Počítat by se mělo pro celý mnohostěn.
Třetí rovnice je VELMI podobná této. Týká se stěn a hran, ne vrcholů a hran.

asgard · 31. 01. 2010 22:15 — Editoval asgard (31. 01. 2010 22:24)

No, trosku me to nejdriv zarazilo, ale pak jsem si to napsal a je to uplne jednoduche.

V zadani je preklep, m je pocet hran k jednomu vrcholu. Z toho plyne, ze v*m = 2*h (kazda hrana spojuje 2 ruzne vrcholy) a s*n = 2*h (kazda hrana deli 2 ruzne steny).

Z Eulerovy formule udelame h < (s+v) a dosazenim za s,v z rovnosti vyse a po upravach dostaneme nerovnost m*n < 2*(m+n). QED.

Ovsem tento postup dukazu existence 5 platonskych teles je z historickeho hlediska dost pochybny. Prvni dukaz totiz podal tusim jiz Euklides, a ten Eulerovu formuli jeste neznal (ackoli neni zvlast tezke ji odvodit pro obecny rovinny graf). Osobne si myslim, ze Eukliduv dukaz byl vic empiricky - zkratka k sobe zkousel skladat ruzne pravidelne mnohouhelniky (podminka, ze jde o pravidelne mnohouhelniky je podstatna - viz 30-sten).

petrkovar · 02. 02. 2010 20:44

↑ asgard:Samozřejmě staří Řeková Eulerovu větu neznali. Argumentace byla postavena na podobné úvaze jako zde.

Matematické Fórum

#1 28. 01. 2010 15:45 — Editoval Kondr (28. 01. 2010 16:59)

Proč je platónských těles jenom pět

#2 28. 01. 2010 15:53

Re: Proč je platónských těles jenom pět

#3 28. 01. 2010 21:19

Re: Proč je platónských těles jenom pět

#4 29. 01. 2010 14:46 — Editoval kesydi (29. 01. 2010 15:33)

Re: Proč je platónských těles jenom pět

#5 29. 01. 2010 15:23 — Editoval musixx (29. 01. 2010 15:26)

Re: Proč je platónských těles jenom pět

#6 29. 01. 2010 16:15

Re: Proč je platónských těles jenom pět

#7 29. 01. 2010 16:24

Re: Proč je platónských těles jenom pět

#8 29. 01. 2010 18:54

Re: Proč je platónských těles jenom pět

#9 30. 01. 2010 13:10

Re: Proč je platónských těles jenom pět

#10 31. 01. 2010 21:20

Re: Proč je platónských těles jenom pět

#11 31. 01. 2010 22:15 — Editoval asgard (31. 01. 2010 22:24)

Re: Proč je platónských těles jenom pět

#12 02. 02. 2010 20:44

Re: Proč je platónských těles jenom pět

Zápatí