Matematické Fórum

1. Najděte těžiště homogenního rotačního kužele o hmotnosti m, poloměru podstavy R a výšce v.
2. . Kolem (o poloměru R = 50 cm) na hřídeli (jeho poloměr r = 10 cm) zdvíháme závaží silou 120 N tak, že provaz táhneme stálou rychlostí 0,8 m.s−1. Jaká je hmotnost stoupání břemene a za jakou dobu jej zdvihneme o 160 cm ?
3. Žebřík o hmotnosti 12 kg je opřen jedním koncem o podlahu a druhým o svislou stěnu, s níž svírá úhel právě 30o. Jakou nejmenší vodorovnou silou působící na horním konci žebříku jej odkloníme od stěny? Těžiště T je uprostřed žebříku.
4. . Tři kovové kuličky, jejichž hmotnosti jsou postupně m1 = 200 g, m2 = 350 g a m3 = 600 g, leží v jedné přímce ve vzdálenostech tak, jak je uvedeno na vedlejším obrázku. Určete moment setrvačnosti této soustavy vzhledem k rotační ose o procházející jejím těžištěm kolmo na spojnici všech tří těles.
5. Ve vrcholech čtverce o délce strany 2 m jsou umístěny čtyři koule postupně o hmotnostech m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 3 kg a m4 = 4 kg. Určete moment setrvačnosti soustavy vzhledem k ose procházející jejím hmotným středem (těžištěm) kolmo na rovinu čtverce.
6. Setrvačník se působením sil, jejichž moment vzhledem k ose otáčení má velikost 200 N.m, dává do otáčivého pohybu. Po uplynutí jedné minuty od počátku pohybu dosáhne počtu 120 ot./min. Jaký je moment setrvačnosti setrvačníku?
7. Setrvačníkové kolo má vzhledem k ose otáčení moment setrvačnosti 200 kg.m2. Otáčí se tak, že vykonává 180 ot./min. Stálým momentem síly dosáhneme toho, že kolo zastavíme za 2 min. Určete velikost tohoto brzdného momentu síly.
8. Svislý sloup výšky 5 m je naříznut těsně u základny a kácí se na zem kolem osy, jež prochází jeho dolním koncem. Jakou rychlostí dopadne horní konec sloupu na zem?
9. Na kladce o poloměru R = 20 cm, jejíž moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení je 0,4 kg.m2, je zavěšené těleso hmotnosti 6 kg. S jak velkým zrychlením se zavěšené těleso začne pohybovat, když jej uvolníme? Hmotnost závěsu je třeba pro jednoduchost výpočtu zanedbat.
10. Tyč na spodním obrázku má délku 40 cm a hmotnost 1 kg. Tyč se může otáčet kolem vodorovné osy kolmo procházející jejím středem. Konec tyče zasáhne střela hmotnosti 10 g letící rychlostí 200 m.s−1 ve směru kolmém na osu i tyč a uvízne v ní. Určete, jakou úhlovou rychlostí se po zásahu dá tyč do otáčivého pohybu, jestliže byla před zásahem v klidu.
11. Na nakloněné rovině se ve výšce 1,5 m nacházejí dvě tělesa stejné hmotnosti - kvádr a válec, jež jsou v klidu. Jaká bude rychlost obou těles po proběhnutí celé nakloněné roviny, jestliže je uvolníme? Tření působící mezi oběma tělesy a podložkou nakloněné roviny, pro zjednodušení výpočtu tohoto příkladu zanedbejte.
12.Určete, za jakou dobu se odvalí plný válec z nakloněné roviny délky 10 m, jež má úhel sklonu 15o, jestliže byl na začátku v klidu. Vliv tření – podobně jako ve dvou předcházejících příkladech - pro jednoduchost výpočtu zanedbejte.