Matematické Fórum

evissska · 07. 02. 2010 10:08

Ahoj, mám dokazovat větu, která říká, že pokud je funkce f v bodě A zprava (ležícím v R) spojitá a existuje jednostranná (pro x jdoucí k A zprava) limita derivace f(x), tak existuje jednostranná derivace v bodě A zprava a rovná se té limitě derivace. Důkaz je mi celkem jasný, ale nevím, jak zdůvodnit, že když existuje jednostranná limita derivace pro x jdoucí k A zprava, tak tato derivace musí být vlastní na nějakém pravém prstencovém okolí bodu A. Poradil by mi někdo, jak toto zdůvodnit? Děkuju moc.

Olin · 07. 02. 2010 11:20

Je to vlastně jen taková otázka definic. Předpokládám, že máte zadefinované
$\mathcal{U}^{\varepsilon}(L) = \begin{cases} (L - \varepsilon,\, L + \varepsilon) & \text{pro } L \in \mathbb{R}\nl $\frac{1}{\varepsilon},\, +\infty $ & \text{pro } L = +\infty \nl $-\frac{1}{\varepsilon},\, -\infty $ & \text{pro } L = -\infty \nl \end{cases}$ .
Všimni si, že ani v jednom z těch případů není nekonečno (plus ani mínus) prvkem těchto okolí. A protože výrok
$\lim_{x \to a} f(x) = L$
znamená, že pro předepsané epsilon okolí elka najdeme delta okolí áčka takové, že všechny funkční hodnoty na tom delta okolí padnou do daného epsilon okolí, tak na tom delta okolí nemůže být žádná hodnota nekonečno.

evissska · 07. 02. 2010 13:25

S tím samozřejmě souhlasím, akorát mi pořád není něco jasné. Vím, že v bodě a je fce f spojitá zprava, tedy lim f(x) pro x jdoucí k a zprava je rovna funkční hodnotě v bodě a. Nicméně já hlavně vím, že existuje limita f´(x) pro x jdoucí k a zprava (tedy limita derivace a o derivaci zatím nevím, zda je spojitá nebo ne, takže vlastně nevím ani nic o tom zda tato limita je vlastní nebo nevlastní, jen že existuje). A z toho mám vyvodit, že ta derivace musí být na (a, a+delta) vlastní a já nechápu jak....

Olin · 07. 02. 2010 15:18 — Editoval Olin (07. 02. 2010 15:19)

Ten předchozí příspěvek je psán víceméně obecně. Stačí ho však jen vztáhnout na derivaci - jestliže víme, že derivace má v nějakém bodě $a$ limitu $L$ , pak je na nějakém okolí $\mathcal{P}^{\delta}(a)$ vlastní. Proč? Protože si zvolíme třeba $\varepsilon = 1$ a díky existenci limity najdeme takové $\delta$ , aby bylo $f'(x) \in \mathcal{U}^1(L)$ pro $x \in \mathcal{P}^{\delta}(a)$ . No a z toho už plyne, že na $\mathcal{P}^{\delta}(a)$ je ta derivace vlastní, jelikož tam hodnota derivace vždycky padne do $\mathcal{U}^1(L)$ a $\pm \infty \notin \mathcal{U}^1(L)$ .

Matematické Fórum

#1 07. 02. 2010 10:08

limita první derivace fukce a výpočet jednostranné derivace

#2 07. 02. 2010 11:20

Re: limita první derivace fukce a výpočet jednostranné derivace

#3 07. 02. 2010 13:25

Re: limita první derivace fukce a výpočet jednostranné derivace

#4 07. 02. 2010 15:18 — Editoval Olin (07. 02. 2010 15:19)

Re: limita první derivace fukce a výpočet jednostranné derivace

Zápatí