Matematické Fórum

Mr.ONE · 09. 02. 2010 11:49

Ahoj, cca 3 den se bezúspěšně pokouším vyřešit rovnici:

[ (2 na X) na 0,5 ] - [ (12 na (X-2) ) na 0,5 ] = (3 na (X-2) ) na 0,5

výsledek by měl být {2}

Prosím naznačit, co s tím. Dík.

Tychi · 09. 02. 2010 12:34

Zadání je takhle?
$(2^x)^{\frac12}-(12^{x-2} )^{\frac12} = (3^{x-2})^{\frac12}$

Mr.ONE · 09. 02. 2010 12:36 — Editoval Mr.ONE (09. 02. 2010 12:37)

↑ Tychi:Přesně tak... (v originále je 1/2 zapsána jako druhá odmocnina)

Tychi · 09. 02. 2010 12:56 — Editoval Tychi (09. 02. 2010 14:52)

$(2^x)^{\frac12}-(12^{x-2} )^{\frac12} = (3^{x-2})^{\frac12}$
$2^{\frac{x}2}-3^{\frac x2-1}\cdot 2^{x-2} =3^{\frac x2-1}$ $/:2^{\frac{x}{2}}$
$1-3^{\frac x2-1}\cdot 2^{\frac{x}{2}-2} =3^{\frac x2-1}\cdot 2^{-\frac x2}$
$3^{\frac x2-1}(2^{-\frac x2}+2^{\frac x2-2})=1$
$3^{\frac x2-1}(2^{-\frac x2}+2^{\frac x2-2})=3^0 2^0$

$\frac x2-1=0$
$x=2$

Edit: díky Oline.

Olin · 09. 02. 2010 14:47 — Editoval Olin (09. 02. 2010 14:48)

"Blbost" nastala při přechodu z třetího na čtvrtý řádek. Správně má být
$3^{\frac x2-1}(2^{-\frac x2}+2^{\frac x2-2})=1$ ,
znaménko v exponentu se nijak nemění. Já jsem po substituci $y = \frac x2 - 1$ dospěl k rovnici
$$\frac 32$^y + (2 \cdot 3)^y = 2$ ,
což vzhledem k tomu, že levá strana je rostoucí funkce, dokazuje, že soustava má nejvýše jedno řešení.

Olin · 13. 02. 2010 12:15

Omlouvám se, že ještě otevírám toto téma, které je označeno jako vyřešené. Při čtení tohoto jsem si na toto téma vzpomněl a zajímalo mě, jak to nakonec dopadlo.

V řešení kolegyně Tychi mi není zcela jasný poslední krok. Tedy, předpokládám, že k rovnici
$\frac x2-1=0$
se dospělo porovnáním exponentů u trojky. To však bez diskuse okolo nelze považovat za korektní krok. Jako příklad bychom mohli uvést třeba podobnou rovnici
$3^{x-1}(5^x+5^{-x}) = 1 = 3^0 5^0$ ,
kde bychom analogickou úvahou dospěli k závěru
$x=1$ ,
který je ovšem nesprávný. Daná rovnice má dvě řešení, jejichž hodnoty lze stanovit asi jen numericky.

Porovnání exponentů (v podstatě "tipnutí" řešení) by bylo v pořádku tehdy, pokud by se provedla zkouška a dokázalo by se, že se jedná o jediné řešení, což jsem provedl výše.

Na druhou stranu, přijde mi, že takový postup není běžný v SŠ úlohách. Neexistuje tedy nějaký postup, jak se řešení dobrat přímo?

Matematické Fórum

#1 09. 02. 2010 11:49

Exponenciální rovnice

#2 09. 02. 2010 12:34

Re: Exponenciální rovnice

#3 09. 02. 2010 12:36 — Editoval Mr.ONE (09. 02. 2010 12:37)

Re: Exponenciální rovnice

#4 09. 02. 2010 12:56 — Editoval Tychi (09. 02. 2010 14:52)

Re: Exponenciální rovnice

#5 09. 02. 2010 14:47 — Editoval Olin (09. 02. 2010 14:48)

Re: Exponenciální rovnice

#6 13. 02. 2010 12:15

Re: Exponenciální rovnice

Zápatí