Matematické Fórum

chuansin · 20. 02. 2010 09:04

čau jak u tohoto příkaldu sin 1/x = 1/2 vyřeším kde ma maximum minimum supremum a infinum sem tady zkoušel hledata našel sem pouze pro cos 1/x = 1/2 ale nepochopil jsem ten postup , prosim napišet mi postup jak toto vyřešit díky

jelena · 20. 02. 2010 10:18 — Editoval jelena (20. 02. 2010 11:12)

↑ chuansin:

Zdravím,

je potřeba zapisovat kompletní zadání množiny - viz zápis od kolegy, neboť zadání sin (1/x) = 1/2 je rovnice, která se dá vyřešit na určité množině, o které ovšem z takového zadání, jak uvedeno, těžko posoudím (předpokládám, že v R).

Je potřeba najit množinu všech řešení rovnice sin (1/x) = 1/2 na R, čimž vznikne zadana množina, dál si uvědomit definice z vaších materiálů a navrhnout, jak to bude s max, min, sup, inf takové množiny.

EDIT: přidám ještě odkaz z místních zdrojů, autorovi děkuji.

chuansin

ano to zadani je M = { x náleží R : sin(1/x) = 1/2 } nemohla bys prosimtě napsat ten postup i s počítáním,
sem vypocital ze x = 1/(+-pi/6+2kpi) ale ted z toho nevim jak prijdu na to min mas sup a inf diky

jelena · 20. 02. 2010 14:19

↑ chuansin:

x = 1/(+-pi/6+2kpi) - to není dobře, je třeba se podívat na řešení goniometrických rovnic.

Závěr postupu je v odkazu, je to velmi podobné

Olin · 20. 02. 2010 14:21 — Editoval Olin (20. 02. 2010 14:22)

Není přece těžké rozhodnout, jestli je mezi těmi čísly nějaké nejmenší či největší a určit ho. Tak třeba to největší bude $\frac{6}{\pi}$ , protože když si budeme dosazovat za k do $\frac{1}{\frac{\pi}{6} + 2k\pi}$ , tak největšího výsledku dosáhneme tehdy, kdy jmenovatel bude co nejmenší (ale kladný), což nastane zřejmě pro k=0. Při dosazování do $\frac{1}{\frac{5\pi}{6} + 2k\pi}$ nedosáhneme menšího kladného jmenovatele.

chuansin · 20. 02. 2010 14:52

sem se dival ale nevim co je na to špatně x = 1/(+-pi/6+2kpi) a proč se tam musi dosazovat zrovna 6/pi nebo 0 ??

jelena · 20. 02. 2010 15:08

↑ chuansin:

řešení goniometrických rovnic, je rozdíl, jak se používá jednotková kružnice pro cos a pro sin, zkus to ještě jednou překontrolovat (a=-pi/6 není řešení rovnice sin (a)=1/2, použila jsem substituci 1/x=a).

chuansin napsal(a):
a proč se tam musi dosazovat zrovna 6/pi nebo 0?

můžeš, prosím, upřesnit, o který zápis jde (kam se má dosazovat)? Děkuji.

Chrpa · 20. 02. 2010 15:35

↑ chuansin:
Protože pro: $k=0$ je ten výraz:
$\frac{1}{\frac\pi6+2k\pi}=\frac{6}{\pi}$

chuansin · 20. 02. 2010 18:01

no tak když vysledek rovnice je x = 1/(pi/6+2kpi) a x = 1/(5pi/6+2kpi) tak když je největší po dosazení 0 6/pi tak jak tedkom urcim z toho minimuma infinum??

Olin · 20. 02. 2010 18:09

No zkus zas teď najít pro každý z výrazů takové k, aby daný výraz byl co nejmenší. Ta menší z výsledných hodnot je hledané minimum a infimum.

chuansin · 21. 02. 2010 08:40

no tak to jedině pokud chci největší a dosadim tam nulu tak pro nejměnší nebo infinum tam musim dosadit jedině nekonečno ale to je nějake divné

jelena · 21. 02. 2010 10:09

↑ chuansin:

Máš před sebou zlomek s promennou v jmenovateli - "polopatický" čím větším číslem dělíš, tim menší výsledek dostaneš (jablko dělené na nekonečně mnoho dílu), nejmenší číslo kterým můžeme podělit je takové, když člen $2k\pi$ úplně "odmážeme" - dosadíme za k nulu.

Trochu odborněj - představ si, že zkoumáš, jak se chová funkce $f(k)=\frac{6}{\pi+12k\pi}$ na množině celých čisel. Na grafu ze stroje, který je grafem lineární lomené funkce si vyznač na vodorovné ose pouze body 1, 2, 3, -1, -2, -3... a sleduj, jak se mění hodnoty funkce na svislé ose.

Úplně odborně - u kolegy ↑ Olin:.

Ještě divně?

quardiola · 21. 02. 2010 11:48

prosimtě napiš mi jake je to maximum a supremum ja na to určitě nepřijdu díky

jelena · 21. 02. 2010 12:01

↑ quardiola:

zkus ještě jednou a pořádně přečíst vaše materiály - uřčitě to bude v pořádku. Indukce už je jasná?

Pro pořádek - ve svém příspěvku s polopatickým výkladem rozebírám pouze ukazku pro jeden kořen goniometrické rovnice. Ověření, jak je to s druhým kořenem, si také udělejte. Děkuji.

chuansin · 21. 02. 2010 13:27

no tak tam už bylo v přechozím pšíspěvku že jak dosaditm nulu do pi/6 nebo do 5pi/6 tak větší bude to pi/6 ale to minimum ani po přečtení materialu sem nezjistil

jelena · 21. 02. 2010 15:59

Budu se snažit.

OT: kolega ↑ quardiola: zas nezjistil maximum... Kolik "ostravských informatiků" je potřeba na ****

V čem je rozdíl mezi příkladem 4 na str. 21 z vašeho materiálu od problému, který zde řešíme? Zkus popsat příklad 4, jak autor došel k takovému výsledku, že má min, inf, sup, ale maximum nemá? A pak stejným systémem uvažuj nad problémem, co řešíš.

V našem případě množina se skladá z hodnot, které dostaneme postupným dosazováním za k celých čísel do výrazů:

$\frac{1}{\frac{\pi}{6} + 2k\pi}=\frac{6}{\pi + 12k\pi}$ dosadíme 0, 1, 2, -1, -2

$\frac{1}{\frac{5\pi}{6} + 2k\pi}=\frac{6}{5\pi + 12k\pi}$ dosadíme 0, 1, 2, -1, -2

V předchozí debatě jsme se dohovořili, že když za k dosadíme hoooodně velké záporné nebo hooodně velké kladné číslo, tak jmenovatel je hodně velký, čitatel je 6 (6 jablek děleno na hoooodně zájemců je skoro nic) a výsledek se bliží nule. Je to však číslo nejmenší?

V případě, že dosadíme k=-1, dostaneme:

$\frac{6}{\pi-12\pi}=-\frac{6}{{11\pi}}$ nebo $\frac{6}{5\pi -12\pi}=-\frac{6}{{7\pi}}$ .

$\frac{6}{5\pi -12\pi}=-\frac{6}{{7\pi}}$ - toto je nejmenší číslo, co v množině vůběc máme. Jelikož "pod toto číslo množina nesahá", budeme ho považovat za infimum. A jelikož je to číslo, které zároveň do množíny patří, budeme ho považovat i za minimum.

V případě, že dosadíme k=0, dostaneme:

$\frac{1}{\frac{\pi}{6} + 0}=\frac{6}{{\pi}}$ nebo $\frac{1}{\frac{5\pi}{6} + 0}=\frac{6}{{5\pi}}$

$\frac{1}{\frac{\pi}{6} + 0}=\frac{6}{{\pi}}$ - toto je největší z čísel, co v množině vůběc máme. Jelikož "za toto číslo množina nesahá", budeme ho považovat za supremum. A jelikož toto číslo zároveň do množíny patří, budeme ho považovat i za maximum.

Doufám, že nemám nějaké nesmysly, ještě to překontroluji.

Matematické Fórum

#1 20. 02. 2010 09:04

sup inf max min

#2 20. 02. 2010 10:18 — Editoval jelena (20. 02. 2010 11:12)

Re: sup inf max min

#3 20. 02. 2010 14:05 — Editoval chuansin (20. 02. 2010 14:10)

Re: sup inf max min

#4 20. 02. 2010 14:19

Re: sup inf max min

#5 20. 02. 2010 14:21 — Editoval Olin (20. 02. 2010 14:22)

Re: sup inf max min

#6 20. 02. 2010 14:52

Re: sup inf max min

#7 20. 02. 2010 15:08

Re: sup inf max min

chuansin napsal(a):

#8 20. 02. 2010 15:35

Re: sup inf max min

#9 20. 02. 2010 18:01

Re: sup inf max min

#10 20. 02. 2010 18:09

Re: sup inf max min

#11 21. 02. 2010 08:40

Re: sup inf max min

#12 21. 02. 2010 10:09

Re: sup inf max min

#13 21. 02. 2010 11:48

Re: sup inf max min

#14 21. 02. 2010 12:01

Re: sup inf max min

#15 21. 02. 2010 13:27

Re: sup inf max min

#16 21. 02. 2010 15:59

Re: sup inf max min

Zápatí