Matematické Fórum

ttopi · 24. 02. 2008 18:42

Dobrý den, dostal jsem za úkol dokázat matematickou indukcí, že pro všechna přirozená čísla platí: 6 dělí n^3+5n.
Pokud by někoho zajímalo, jedná se o předmět Algebra a Aritmetika, UJEP.
Pokuste se pomoci, děkuji :-)

Kondr · 24. 02. 2008 19:36

Zkus se podívat na
http://matematika.havrlant.net/forum/vi … p?id=1096,
z toho postupu jasně odvodíš dělitelnost 3. Dělitelnost šesti se dokazuje naprosto analogicky.
(Pokud se ti ji nepodaří dokázat, stačí ukázat sudost rozdělením na případy kdy je n sudé a kdy je liché.)

ttopi · 24. 02. 2008 19:42

Kondr: Moc děkuju, hned se na to podívám. Pro jistotu pak napíšu svůj výsledek, aby mohl být dále podroben kritice :-)

ttopi · 24. 02. 2008 20:20

Kondr: Tak jsem se na to podíval, a....

$6|n^3+5n$

1) pro 1:
$1^3+5\cdot1=1+5=6$ -> zjevně platí.

2) pro n+1:

$6|(n+1)^3+5(n+1)$
$6|n^3+3n^2+3n+1+5n+5$
$6|n^3+3n^2+8n+6$
$6|(n^3+5n)+(3n^2+3n+6)$
$6|(n^3+5n)+6(\frac{n^2}2+\frac{n}2+1)$ -> 1 sčítanec platí podle předpokladu a druhý sčítanec platí očividně (6 krát cokoli je vždycky dělitelné 6), proto i součet takových sčítanců je dělitelný 6.

Mrkněte na to prosím někdo, zda to mohu ve škole takto prezentovat.
Děkuji.

Ginco · 24. 02. 2008 20:32

↑ ttopi:

ted jsem to taky počítal a máš to správně. co děláš za obor?

ttopi · 24. 02. 2008 20:38

↑ Ginco:
No PF - učitelství pro 2.stupeň základních škol, obor Matematika - Technika.
Proč se ptáš? Studuješ snad taky na UJEPu?:-)

robert.marik · 24. 02. 2008 21:28

ještě tam chybí úvaha že $\frac{n^2}2 +\frac n2$ je celé číslo, ale asi jste to viděl a jenom nenapsal :)

ttopi · 25. 02. 2008 06:51

↑ robert.marik:
Výborná poznámka, přiznám barvu, že jsem na to nepomyslel, děkuji! :-)

Ginco · 25. 02. 2008 11:51

↑ ttopi:

Nejsem moc znalý v důkazech, ale v tom předposledním řádku jsem to upravil na 3n*( n+1 ) + 6 . Pokud za n dosadíme sudé číslo, tak bude výraz vždy dělitelný 6, a pokud liché, tak vlastně výraz (n+1) bude číslo sudé, takže opět platí, že bude dělitelný 6, no a když k výrazu, který je dělitelný 6ti přičtu 6, tak je opět dělitelný 6ti. Nevím, jestli se to dá také takto interpretovat, kdyžtak mě opravte, ale samozřejmě tvoje řešení je zcela správně.

Jo a jsem ještě na střední, ale podal jsem si na UK - pedagogika matika ivt, a plzeň - obecná matematika. zdar

ttopi · 25. 02. 2008 12:47

↑ Ginco:
Vypadá to taky rozumně, zapíšu si raději obě alternativy :-)

Matematické Fórum

#1 24. 02. 2008 18:42

Důkaz věty: 6 dělí výraz n^3 + 5n

#2 24. 02. 2008 19:36

Re: Důkaz věty: 6 dělí výraz n^3 + 5n

#3 24. 02. 2008 19:42

Re: Důkaz věty: 6 dělí výraz n^3 + 5n

#4 24. 02. 2008 20:20

Re: Důkaz věty: 6 dělí výraz n^3 + 5n

#5 24. 02. 2008 20:32

Re: Důkaz věty: 6 dělí výraz n^3 + 5n

#6 24. 02. 2008 20:38

Re: Důkaz věty: 6 dělí výraz n^3 + 5n

#7 24. 02. 2008 21:28

Re: Důkaz věty: 6 dělí výraz n^3 + 5n

#8 25. 02. 2008 06:51

Re: Důkaz věty: 6 dělí výraz n^3 + 5n

#9 25. 02. 2008 11:51

Re: Důkaz věty: 6 dělí výraz n^3 + 5n

#10 25. 02. 2008 12:47

Re: Důkaz věty: 6 dělí výraz n^3 + 5n

Zápatí