Matematické Fórum

Adrasiteia · 21. 02. 2010 14:01

a sem tu zas a snad už naposledy :-D. Vůbec nevim jak mám ty zatracený rovnice počítat. Může mi je někdo vysvětlit? Nechci je vypočítat, chci jen u každý nakopnout, abych pochopila jak je počítat. Tak vás prosim aspoň o začátky a u každýho bodu aspoň o jeden vypočítanej příklad. Děkuju moc .

1 ) 3 cos x + √3 sin x = 0

2) cos²x – cos x = 0

sin³x + sin x = 0

3tg²x - √3 tg x = 0

√3 cotg²x + 3 cotg x = 0

3) tg²x – 2tg x +1 = 0

√3 cotg²x – 4 cotg x + √3 = 0

2cos²x = cos x + 1

2sin²x – 3sin x + 1 =0

4) cos²x – sin²x + 1 = 0

2 sin²x = cos²x – 1

cos²x – 2sin x + 2 = 0

2 cos²x – 3 sin x = 0

5) 6 cos²x + sin x – 5 = 0

2 tg x + 3 cotg x = 5

sin²x – cos²x + sin x = 0

sin ²x - √3 sin x. Cos x = 0

Olin · 21. 02. 2010 14:09 — Editoval Olin (21. 02. 2010 14:09)

1) za předpokladu, že je kosinus nenulový, jím rovnici podělit a dostaneme tam rovnici typu tangens = konstanta

2), 3) všechno příklady asi na substituci (ale lze to i bez substituce) - např. 3.3
$2 \cos^2 x = \cos x + 1\nl \text{subst. }y = \cos x\nl 2y^2 = y + 1\nl 2y^2 - y - 1 = 0\nl (y-1)(2y+1) = 0\nl \cos x = 1 \, \vee \, \cos x = -\frac 12$ .

4) vše lze převést na výše uvedený typ pomocí základního vztahu $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

5) první a třetí stejně jako 4), na druhý použít $\mathrm{cotg}x = \frac{1}{\mathrm{tg}x}$ a ve čtvrtém to vidím na používání vzorců pro dvojnásobné argumenty.

Adrasiteia · 21. 02. 2010 14:42

1) za předpokladu, že je kosinus nenulový, jím rovnici podělit a dostaneme tam rovnici typu tangens = konstanta

tak tady sem úplně vedle :-)))

zdenek1 · 21. 02. 2010 15:13

↑ Adrasiteia:
Rovnici typu tangens = konstanta ti počítal ráno Chrpa (příspěvek 5#)

Adrasiteia · 21. 02. 2010 15:49

já vim, jenže stejně tomu nerozumim. Vůbec netušim, co mám s těmi rovnicemi dělat. Vycházejí mi samý nesmysly, už sem z toho úplně zpitomělá. Jasně, že se to snažim od rána nějak spočítat, ale bohužel tomu opravdu nerozumim a potřebuju to do školy.
V mý učebnici to je vysvětlený úplně na prd a učitel nám to skoro vůbec nevysvětlil. Sem dálkař, tak mám nějakých 5 h matiky za půl roku a z goniometrický rovnice vidim poprvý v životě - je to trapný, ale je to tak. Už se mi nad tím chce brečet

Tychi · 21. 02. 2010 16:03 — Editoval Tychi (21. 02. 2010 16:04)

$3 cos x + \sqrt{3}sin x = 0$
Celou rovnici vydělíme funkcí cos(x), abychom to mohli udělat musíme předpokládát, že $\cos x\neq 0$
Po vydělení máme rovnici
$3+\frac{\sqrt3\sin x}{\cos x}=0$
To lze upravit na tvar
$\sqrt3\frac{\sin x}{\cos x}=-3$
Ještě rovnici podělím odmocninou ze tří
$\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{3}{\sqrt3}$
To lze přepsat na
$tg x=-\frac{3}{\sqrt3}=-\sqrt3$
Teď použiješ kalkulačku nebo se koukneš do hlavy nebo tabulek, pro která x to platí.

Nakonec je potřeba ověřit případ, kdy $cos x=0$ . Kosínus se nuluje v lichých násobcích $\frac{\pi}{2}$ , tedy ve všech bodech $(2k+1)\frac{\pi}{2},k\in R$ . V těchto bodech nabývá funkce sinus hodnot 1 nebo -1 (nejlépe je to asi vidět grafu obou funkcí). To tedy znamená, že součet $3 cos x + \sqrt{3}sin x \neq 0$ pro žádné x pro které platí $cos x=0$ . Předpokled ze začátku nám tedy žádná řešení neschoval.

Snad je to aspoň trochu pochopitelné.

Chrpa · 21. 02. 2010 16:11

↑ Adrasiteia:
4a)
$\cos^2x-\sin^2x+1=0\nl\cos(2x)=-1\nl2x=t\nl\cos(t)=-1\nlt=\pi+2k\pi\nlx=\frac \pi2+k\pi$
4b)
$2\sin^2x=\cos^2x-1\nl2\sin^2x=1-\sin^2x-1\nl3\sin^2x=0\nl\sin(x)=0\nlx=k\pi$
4c)
$\cos^2x-2\sin(x)+2=0\nl1-\sin^2x-2\sin(x)+2=0\nl\sin(x)=t\nlt^2+2t-3=0\nlt_1=-3\nlt_2=1\nl\sin(x)=-3\,\rm{ne}\nl\sin(x)=1\nlx_1=90^\circ+k\cdot 360^\circ$

Adrasiteia · 21. 02. 2010 16:16

ach jo. Lidičky. Já vám opravdu děkuju za trpělivost. Tohle sou úplně poslední příklady, pak už přejedu na trojúhelníky a to už budu zvládat. Ale tyhle rovnice sou pro mě španělská vesnice

Matematické Fórum

#1 21. 02. 2010 14:01

goniometrické rovnice

#2 21. 02. 2010 14:09 — Editoval Olin (21. 02. 2010 14:09)

Re: goniometrické rovnice

#3 21. 02. 2010 14:42

Re: goniometrické rovnice

#4 21. 02. 2010 15:13

Re: goniometrické rovnice

#5 21. 02. 2010 15:49

Re: goniometrické rovnice

#6 21. 02. 2010 16:03 — Editoval Tychi (21. 02. 2010 16:04)

Re: goniometrické rovnice

#7 21. 02. 2010 16:11

Re: goniometrické rovnice

#8 21. 02. 2010 16:16

Re: goniometrické rovnice

Zápatí