Matematické Fórum

HellBoyCz

Dobrý den,
Vím, že se tu tenhle příklad řešil několikrát. Spektrální rozklad matice, bohužel o tom slyším prvně. A nikde jsem nenašel vysvětlený začátek ( nalezení kořenů polynomu ). Dále bych chtěl aby tenhle můj příspěvek byl nějakým kompletním vzorovým příkladem pro příští návštěvníky neznale LiA

Spektrální rozklad - LA pro IT (VŠB) - užitečné téma. Vzorové řešení této úlohy - viz příspěvek 20 tématu
zadaná matice:

122
212
221

1. výpočet vlastních čísel a vektory matice

Můj postup:

1-L 2 2
2 1-L 2 = [(1-L)*(1-L)* (1-L) + (2*2*2) + (2*2*2)] – [((1-L)*2*2) - (2*2*(1-L)) – (2*(1-L)*2) ]=
2 2 1-L

= [(L2 -2L+1)*(1-L) + 16] – [(4-4L) + (4-4L) + (4-4L)] = (-L3 + 3L2 – 3L + 17) –3 (4 - 4L) =
= -L3+3L2+9L+5

a) uprava kubické rovnice ( jak vypočítám L1, L2, L3). Potřeboval bych nějak nakopnout:

-L3+3L2+9L+5=0

podle calculatoru jsou L1=-1, L2=-1, L3=5.

Jelena: úprava názvu tématu

vanok · 19. 11. 2011 12:55

Ahoj ↑ HellBoyCz:,
Co znamena pre teba spektralny rozklad
Napis mi to prosim

HellBoyCz · 19. 11. 2011 14:28

Pro mě nic neznamená a pro to se jej snažím pochopit :). Neber to zle, snažím se jen pochopit příklad. Myslel jsem, že jsem na správném fóru.

jelena · 19. 11. 2011 15:16

↑ vanok:

pro mne také nic moc. LA je pro mne těžká a abstraktní (až snad čtení pana Olšáka přineslo nějaký efekt, což v mém případě je zcela nepodstatné). Doufám, že se nebudeš zlobit, když kolegu seznámím s tématem, které obsahuje jak odkazy na teorii pro spektrální rozklad, tak i problémové momenty výpočtu - je to zde

↑ HellBoyCz:

četl jsi téma před vložením dotazu? Kolega Lukáš M. nedoporučuje používat Sarrusovo pravidlo a doporučuje rozvoj. Pokud si neporadíš s výpočtem kořenů, použij, prosím, Wolfram (vzor). Ozvi se, prosím, zda se podařilo.

Myslel jsem, že jsem na správném fóru.

mohl bys, prosím, definovat pojem "správné fórum". Také bych nechtěla působit na nesprávném :-)

HellBoyCz · 19. 11. 2011 15:30

Jak říkám moje odpověď byla jen reakce na nesmyslnou odpověď, nechci vyřešit celý příklad jen chci pochopit co dělám a jestli to počítám správně.

jelena · 19. 11. 2011 15:38

↑ HellBoyCz:

Odpověď kolegy ↑ vanok: nebyla nesmyslná - pokud napíšeš do názvu tématu "Spektrální rozklad", ale skutečně problém je v nalezení kořenů polynomu - tak?

Tedy dostuduj, prosím, materiály a potěš kolegu sdělením, co pro Tebe znamená ... Mne můžeš potěšit, že jsi kořeny polynomu našel, případně napiš, co ještě 2 úvodnímu tématu chybí.

Děkuji a měj se.

vanok · 19. 11. 2011 15:50

Ahoj ↑ jelena:,
Uplne suhlasim. Mne a ani tebe na zivote nic nezmeni, ak niekto nechce spolupracovat. A otazka je casto potrebna aby sme videli na aku uroven dat odpoved...
Ale naco zbytocne polemizovat.
Na koniec pridavam, ze ty tu robis vsetko aby si kazdemu pomohla a ja si to vazim.

jelena · 19. 11. 2011 17:14

kolega Vanok napsal(a):
ze ty tu robis vsetko aby si kazdemu pomohla

Děkuji, ale z čeho pramení takový závěr? Jak v reálu, tak tady, podpořím prostředí a nástroje, aby si každý uměl pomoci sám.

Tak vzniklo i úvodní téma o rozkladech - v předchozích létech každé téma s názvem "Spektrální rozklad" ve skutečnosti bylo o hledání kořenu polynomu. Teď jsem kolegovi upravila název tématu, neb správná definice problému je polovina jeho řešení.

----------------------------------------------
Úvodní příspěvek kolegy je naprosto v pořádku, co do ochoty spolupracovat. Zdar přeji.

vanok · 19. 11. 2011 17:20

Ahoj↑ jelena:,
Ak das niekomu rybu aby sa najedol, je to dobre ale lepsie je naucit hladneho chytat ryby.
A ty prave to robis...

jelena · 19. 11. 2011 17:26

↑ vanok:

Máme i předsedu rybářského kroužku :-) Já se domnívám, že občas je ještě lepší vysvětlit, že sběr kořínků je pohodlnější.

Měj se hezky, konec všech OT v tématu.

HellBoyCz

Tak jsem přišel na jednu chybku = že mám špatně vypočítaný det(A-LI)=0 akorát, už jsem ho několikrát přepočítával a tu chybu tam prostě nevidím :(

Použil jsem tenhle vzorec:

Determinant matice (3,3) s prvky
a b e
c d f
g h i
je rozdíl adi + bfg + ech - afg - bci - edg

Správný výsledek by měl byt: -x3+3x2+9x+5

Předem děkují

vanok · 19. 11. 2011 19:24 — Editoval vanok (19. 11. 2011 19:25)

Ahoj ↑ HellBoyCz:,
Tvoj prvy priSpevok ma viacej chyb znamienok.
Predposledny riadok vynal si v prvej rovnosti znamienko - ale si zabudol zmenit dva dalsie.
A tak miesto -3(4-4L) mas nieco ine...
Oprav to dostanes dobry vysledok.

HellBoyCz · 19. 11. 2011 20:12

↑ vanok:

Děkují akorát jsem nevěděl, že mohu upravit tenhle výraz – [(4-4L) - (4-4L) - (4-4L)] na -3*(4-4L)

( furt to nechapu ale vyšlo to :) )

((:-)) · 19. 11. 2011 20:17

↑ HellBoyCz:

Predposledny riadok vynal si v prvej rovnosti znamienko - ale si zabudol zmenit dva dalsie.

HellBoyCz

↑ ((:-)):

už to chápu jsem osel :), to je tak když cele dopoledne programuji a pak se vrhnu na matematiku. No zítra to dodělám doufám, že úspěšně :)

to jelena a vanok:

tak podle kalkulátoru jsou L1=-1, L2=-1, L3=5. Šlo by nějak vysvětlit jak se k těmto číslům došlo?

PS: Wolfram je super na ověřovaní výsledku.

jelena · 20. 11. 2011 08:18

HellBoyCz napsal(a):
Spektrální rozklad matice, bohužel o tom slyším prvně. A nikde jsem nenašel vysvětlený začátek ( nalezení kořenů polynomu ). Dále bych chtěl aby tenhle můj příspěvek byl nějakým kompletním vzorovým příkladem pro příští návštěvníky neznale LiA

A co to 2. úvodní téma sekce VŠ? Odsud - o řešení rovnic a rozkladu polynomu.

Účelem je převést polynom do součinového tvaru (...)*(...)*(...)=0, Po všech úpravách jsi došel na zápis polynomu 3. stupně, což není zrovna snadno řešitelná situace - viz odkaz. Ale můžeme doufat, že rozklad existuje i se celočíselnými kořeny.

Podle doporučení kolegy Ondřeje podíváme se na absolutní člen (-5) který je součinem (-5)*1 nebo (-1)*5. Ověříme, zda jedno z těchto čísel po dosazení do polynomu nedává řešení 0. Podařilo se (pro 5 a pro (-1)). To je dobré znamení - buď se pustím do úprav, abych mohla vytknout, nebo jen podělím mnohočlen dvoučlenem $(l^3-3l^2-9l-5):(l+1)$ - půjde to? Je to rychlejší cesta.

Když se pustím do úprav, tak asi tak provedu: $l^3+1-3l^2-9l-5-1=(l^3+1)-3(l^2+3l+2)$ Podaří se dorozkládat? Je to hezčí cesta, ale vyžaduje jistý cvik ze ZŠ.

Techniky rozkladu na součin můžeš najít například v tomto tématu. Pokud z tohoto tématu vytvoříš vzorový příklad, můžeme přesunout do sekce Vzorové (záleží jak jsi na tom s časem na úpravu textu).

PS: Wolfram je super na ověřovaní výsledku.

to ano, píše to Vážený Admin v 1. úvodním tématu sekce VŠ.

když cele dopoledne programuji

dopoledne? Oho! :-)

Napiš, prosím, zda je to dostačující, děkuji. Také děkuji kolegům v tématu za průběžný dohled a pomoc.

HellBoyCz

↑ jelena:

Takže 1 věc, kterou musím určit jsou čísla (kořeny polynomu), tak aby se mi LS=PS, což znamená 0=0. Takže když se na tu rovnici kouknu, tak logicky L1=-1 L2=-1 což mi vyruší +3L2 a 9L, jelikož mi tam ještě zbývá absolutní člen 5 tak abych dostal 0 za L3 dosadím 5. Tím pádem mam LS=PS

Předpokládám, že jen záleží na tom dobře odhadnout ty kořenný.

Když bych to chtěl početně:

použil jsem metodu dělením dvoučlenném:
předpokládám že jsi tu rovnici vynásobila -1( je to nutné??? ) tím jsme dostali:

L3-3L2-9L-5=0

pokud se děli mnohočlen dvoučlenném (L-a) což a známe je: -1

(L3-3L2-9L-5) : (L+1) = L2-4L-5
-(L3-L2)
-4L2-9L
-(-4L-4L)
-5L-5
-(-5L-5)
0
tak co dál :) výsledek se zase položí = 0 ? tím bych zjistil kořen L2 musím dosadit druhou -1 aby se LS= PS

((:-)) · 20. 11. 2011 11:23 — Editoval ((:-)) (20. 11. 2011 11:26)

↑ HellBoyCz:

Keď hľadáš rozklad, tak treba rozkladať...

Rozložiť $l^2 -4l -5$ by už možno nemusel byť veľký problém ...

Áno, výsledok sa položí rovný 0, alebo použiješ Vietove vzťahy alebo doplníš do úplného štvorca alebo "uhádneš"...

jelena · 20. 11. 2011 21:19

HellBoyCz napsal(a):
předpokládám že jsi tu rovnici vynásobila -1( je to nutné??? )

není nutné, ale je to pohodlnější (pro rovnici vynásobení levé a pravé strany stejným číslem je ekvivalentní úprava).

Zbytek jsi zvládl? Pokud jsi VŠB a máš v plánu ještě MA pro IT a DIM, potom doporučuji si zopakovat některé momenty ze SŠ (nápř. úprava výrazu, řešení rovnic a nerovnic, goniometrie). A pokud nejsi VŠB - také neuškodí. Ať se vede.

HellBoyCz · 11. 04. 2012 15:04

Ahoj tady to je vzorově:

a

a

:)

jelena · 11. 04. 2012 15:16

↑ HellBoyCz:

:-) děkuji za splnění příslibu. Věřím, že prošlo kontrolou pana učitele, tedy není nutné kontrolovat, že ano? Ještě to zde ponechám, pokud někdo z kolegů bude mít komentář, potom to přesunu do Vzorových.

Zdravím a další zdary přeji.

HellBoyCz · 11. 04. 2012 16:21

↑ jelena:

jj prošlo :) a ještě jednou děkuji. Posílám sms na podporu.

jelena · 12. 04. 2012 23:32

↑ HellBoyCz:

děkuji :-) Trošku jsem upravila 1. příspěvek a přesunula do Vzorových.

Matematické Fórum

#1 19. 11. 2011 10:33 — Editoval HellBoyCz (20. 11. 2011 10:18)

Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#2 19. 11. 2011 12:55

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#3 19. 11. 2011 14:28

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#4 19. 11. 2011 15:16

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#5 19. 11. 2011 15:30

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#6 19. 11. 2011 15:38

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#7 19. 11. 2011 15:50

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#8 19. 11. 2011 17:14

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

kolega Vanok napsal(a):

#9 19. 11. 2011 17:20

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#10 19. 11. 2011 17:26

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#11 19. 11. 2011 19:06 — Editoval HellBoyCz (19. 11. 2011 19:07)

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#12 19. 11. 2011 19:24 — Editoval vanok (19. 11. 2011 19:25)

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#13 19. 11. 2011 20:12

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#14 19. 11. 2011 20:17

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#15 19. 11. 2011 20:24 — Editoval HellBoyCz (20. 11. 2011 10:19)

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#16 20. 11. 2011 08:18

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

HellBoyCz napsal(a):

#17 20. 11. 2011 11:16 — Editoval HellBoyCz (20. 11. 2011 11:21)

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#18 20. 11. 2011 11:23 — Editoval ((:-)) (20. 11. 2011 11:26)

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#19 20. 11. 2011 21:19

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

HellBoyCz napsal(a):

#20 11. 04. 2012 15:04

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#21 11. 04. 2012 15:16

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#22 11. 04. 2012 16:21

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

#23 12. 04. 2012 23:32

Re: Kořeny polynomu (při hledání spektrálního rozkladu matice)

Zápatí