Matematické Fórum

Kein · 08. 03. 2010 20:50

Zdravím...

Jsem s matematikou krapet pozadu a ikdyž jsem toho na tomto foru četl o limitách spoustu, pořád mi unikají jisté aspekty...
Proto bych vás rád požádal o jistá vysvětlení v postupu výpočtu.

Vím co limita znamená (resp. posloupnost), co je monotoní, či ryze monotoní posloupnost, konvergebce a znám aritmetiku...ale jisté postupy při výpočtu jsou mi cizí.

Učím se vše jako samouk...přednášky z časových důvodů nemám šanci navštěvovat - proto bych rád požádal o podrobnější vysvětlení i trochu té trpělivosti.

Např. měl bych tento příklad:

$\lim_{n\rightarrow \infty} n \cdot \(sqrt{n^2+2}-{3_sqrt{n^3+1^})$

jelena · 08. 03. 2010 21:28

↑ Kein:

Zdravím,

zde kolega zpracoval velmi přehledný rychlokurz, kolegovi děkuji :-)

$\lim_{n\rightarrow \infty} n \cdot \(sqrt{n^2+2}-{\sqrt[3]{n^3+1^})$ je v zadání 3. odmocnina? Zkus použit takovou úpravu. Pomůže?

Kein · 08. 03. 2010 22:14

Ahoj...zdravím...
Ten návod jsem četl, tedy rychlí úvod do limit...jsem si vědom, že toto téma se na foru objevuje častěji než např kombinatorika...nicméně moc mi ten rychlý návod nepomohl...

Jsem spousty let ze školy a možná jsem již zapoměl základní úpravy při výpočtech, nicméně v tomto případě (i v jiných jsem bezradný)...

btw: ano, je to 3-ti odmocnina...jen se mi špatně zapsala...

Nicméně mě vyšlo 3n...což asi nebude správný výsledek...

halogan · 08. 03. 2010 22:40

Potřebuješ se zbavit odmocnin v čitateli a rozdílu. To jsou dva hlavní problémy.

Rozšiř na a^6 - b^6 (viz třeba ten můj návod) a pak se to tam nějak pokrátí.

Olin · 08. 03. 2010 22:42

Provedu několik kroků:

$\lim_{n \to \infty} n \cdot $sqrt{n^2+2}-\sqrt[3]{n^3+1}$ = \lim_{n \to \infty} n \cdot $ sqrt{n^2+2} - n + n - \sqrt[3]{n^3+1} $ = \nl = \lim_{n \to \infty} n \cdot \[ $\sqrt{n^2+2}-n $ \cdot \frac{\sqrt{n^2+2}+n}{\sqrt{n^2+2}+n} \, - \, $ \sqrt[3]{n^3+1}-n $ \cdot \frac{$\sqrt[3]{n^3+1}$^2+n\cdot\sqrt[3]{n^3+1}+n^2}{$\sqrt[3]{n^3+1}$^2+n\cdot\sqrt[3]{n^3+1}+n^2} \] = \nl = \lim_{n \to \infty} n \cdot \[ \frac{(n^2+2) - n^2}{\sqrt{n^2+2}+n} \, - \, \frac{(n^3+1)-n^3}{$\sqrt[3]{n^3+1}$^2+n\cdot\sqrt[3]{n^3+1}+n^2}\] = \nl = \lim_{n \to \infty} n \cdot \[ \frac{2}{\sqrt{n^2+2}+n} \, - \, \frac{1}{$\sqrt[3]{n^3+1}$^2+n\cdot\sqrt[3]{n^3+1}+n^2}\] = \nl = \lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\sqrt{n^2+2}+n} \quad - \quad \lim_{n \to \infty} \frac{n}{$\sqrt[3]{n^3+1}$^2+n\cdot\sqrt[3]{n^3+1}+n^2}$

Ty dvě limity už se snadno dopočtou (první 1, druhá 0).

jelena · 08. 03. 2010 22:44 — Editoval jelena (08. 03. 2010 22:46)

Dvě minuty jsou dvě minuty, ve výpočtu jsme ve shodě, mažu a zdravím :-)

Kein · 08. 03. 2010 23:00

Olin: a mol by jsi mi vysvětlit postup? Prtoč jsi takto postupoval?

Olin · 08. 03. 2010 23:43

↑ jelena: Rovněž zdravím a přeji dobrý večer!

↑ Kein:
Jde o běžné úpravy, kterými se člověk zbaví "nepříjemných" odmocnin (což zpravidla pro výpočet limity potřebujeme). Standardní technika je taková, že pokud máme rozdíl odmocnin jako $\sqrt[m]{X} - \sqrt[m]{Y}$ , můžeme ho vždy přepsat na zlomek bez odmocnin v čitateli pomocí vzorce 2.5 (dosazujeme $a = \sqrt[m]{X},\, b = \sqrt[m]{Y}$ ). Konkrétní úprava pak vypadá takto:
$\sqrt[m]{X} - \sqrt[m]{Y} = \nl = $ \sqrt[m]{X} - \sqrt[m]{Y} $ \cdot \frac{$ \sqrt[m]{X} $^{m-1} + $ \sqrt[m]{X} $^{m-2} \cdot \sqrt[m]{Y} + \dots + \sqrt[m]{X} \cdot $ \sqrt[m]{Y} $^{m-2} + $ \sqrt[m]{Y} $^{m-1}}{$ \sqrt[m]{X} $^{m-1} + $ \sqrt[m]{X} $^{m-2} \cdot \sqrt[m]{Y} + \dots + \sqrt[m]{X} \cdot $ \sqrt[m]{Y} $^{m-2} + $ \sqrt[m]{Y} $^{m-1}} = \nl = \frac{X - Y}{$ \sqrt[m]{X} $^{m-1} + $ \sqrt[m]{X} $^{m-2} \cdot \sqrt[m]{Y} + \dots + \sqrt[m]{X} \cdot $ \sqrt[m]{Y} $^{m-2} + $ \sqrt[m]{Y} $^{m-1}}$

Na druhém řádku jsme v podstatě násobili jedničkou, proto se posloupnost nezměnila. Příklad:

$\lim_{n \to \infty} n$\sqrt{n^2+2}-\sqrt{n^2+1}$ = \lim_{n \to \infty} n$\sqrt{n^2+2}-\sqrt{n^2+1}$ \cdot \frac{\sqrt{n^2+2}+\sqrt{n^2+1}}{\sqrt{n^2+2}+\sqrt{n^2+1}} = \nl = \lim_{n \to \infty} n \cdot \frac{(n^2+2) - (n^2-1)}{\sqrt{n^2+2}+\sqrt{n^2+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+2}+\sqrt{n^2+1}} = \frac 12$

Ve výše uvedeném příkladu byl ten problém, že jsme neměli dvě stejné odmocniny, ale jednu druhou a jednu třetí. Toho se dá zbavit tak, jak navrhoval kolega Halogan - převést to na šesté odmocniny:

$\sqrt{n^2+2}-\sqrt[3]{n^3+1} = \sqrt[6]{(n^2+2)^3}-\sqrt[6]{(n^3+1)^2}$

Takovýto postup k výsledku vede, ovšem je to cesta značně trnitá - ty součty ve výše uvedeném zlomku, kterým násobíme, by měly šest členů, a práce s nimi by byla poněkud zdlouhavá. Proto je asi výhodnější si "chytře" přidat a ubrat jedno $n$ , jak navrhovala kolegyně Jelena a jak jsem provedl výše:

$\sqrt{n^2+2}-\sqrt[3]{n^3+1} = $\sqrt{n^2+2}-n$+$n-\sqrt[3]{n^3+1}$$

Uvedených závorek se zbavíme podle výše uvedeného návodu pro odstranění odmocnin. Sice ho musíme takto aplikovat dvakrát, ovšem výsledek není tak robustní, jako při přechodu na šesté odmocniny. Vlastně už by v tomto kroku šlo limitu rozdělit na součet limit, což jsem ve výše uvedeném postupu provedl až na konci.