Matematické Fórum

Ibanus · 03. 01. 2015 10:42 — Editoval Ibanus (03. 01. 2015 11:02)

Zdravím,

mám problém s těmito příklady:
//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-01/78019_complex_fce.jpg

Pomohli byste mi je vyřešit? Mám tu problém především s příklady 1,2,3 .

Jde o to, že první příklady nějak špatně zkracuji a nemohu najít na internetu nějaký podobný příklad. Ze školy mám jen jednu úlohu na sin(z), ale ta vyjde hezky. U dalších příkladů to vede na nehezké kvadratické rovnice. Budu moc rád za každý tip nebo návod. Děkuji :-)

jelena · 05. 01. 2015 23:03

Zdravím,

pokud ještě aktuální (a navazuje na toto téma), tak u prvních 2 úloh pravděpodobně bude potřeba se ještě zaměřit na logaritmus v komplexním oboru (jelikož tak bys ukončoval úpravy $e^{\mathrm{j}z}=\ldots$ .

Zde se mi jeví přehledné dost. Nehezké kvadratické rovnice - zkus ještě upřesnit, v čem je nehezkost (také pokud aktuální).

Ibanus · 06. 01. 2015 13:04

No, nevím právě jak udělat první dvě úlohy. Zbylé tři jsem vyřešil. Tuto práci jsem našel před pár dny, ale ne až tak dobře se v tom zorientuji.

jelena · 07. 01. 2015 20:12

↑ Ibanus:

Zdravím,

omlouvám se, že mi dřív nevyšlo se podívat pořádně. Pokud já nedělám nějakou chybu při úpravách, tak výsledek k 1. úloze patří k zadání tg(z)=i/3. Jestli v tom není problém, že "nevychází".

Freedy · 07. 01. 2015 23:42

↑ jelena:
Ahoj,

rád bych se zeptal, jestli nevíte o nějaké dobré stránce, či pdf, kde je tato látka, tzn. řešení goniometrických rovnic v komplexních číslech vysvětleno. Děkuji

Ibanus · 08. 01. 2015 08:13

↑ jelena:

Určitě nevadí. Sem s materiály. :-)

Pavel · 08. 01. 2015 11:17

↑ Ibanus:

ad 2) Doporučuji použít vzorec $\cos z=\sin\left(z+\frac{\pi}2\right)$ a následně $\sin A-\sin B=2\sin\left(\frac{A-B}2\right)\cos\left(\frac{A+B}2\right)$ . Pak

$\sin z-\cos z=\sin z-\sin\left(z+\frac{\pi}2\right)=2\sin\left(-\frac{\pi}4\right)\cos\left(z+\frac{\pi}4\right)=-\sqrt 2\cos\left(z+\frac{\pi}4\right)$

Stačí tedy řešit rovnici

$\cos\left(z+\frac{\pi}4\right)=-\frac{3}{2}\sqrt 2.$

Zavedeme substituci $w=z+\frac{\pi}4$ a máme

$\cos w=-\frac{3}{2}\sqrt 2\qquad\Leftrightarrow\qquad\frac{\mathrm e^{\mathrm iw}+\mathrm e^{-\mathrm iw}}2=-\frac{3}{2}\sqrt 2$

Nyní stačí vyřešit rovnici s neznámou $\mathrm e^{\mathrm iw}$ .

Pavel · 08. 01. 2015 12:25

↑ Ibanus:

ad 1) $\mathrm{tg}\,z=\frac 13\quad\Leftrightarrow\quad z=\mathrm{arctg}\,\frac 13+k\pi,\ k\in\mathbb Z$ .

jelena · 08. 01. 2015 12:58

Zdravím,

Určitě nevadí. Sem s materiály. :-)

:-) to už je v odkazu "přehledné dost".

↑ Freedy: nevím o ničem speciálním. Spíš bych zůstala u běžných postupů řešení goniometrických rovnic až do okamžiku práce s komplexními čísly. V tomto momentu je dobré si představit souvislost mezi exponenciálním a goniometrickým nebo algebraickým tvarem komplexních čísel. Potom přepis goniometrických funkcí v komplexním oboru. + že mnohoznačnost řešení. Potom lze vyřešit i bez zavedení logaritmů. Na druhou stranu logaritmus komplexního čísla je dobrý pro "mechanické dokončení":

Pavel napsal(a):
Nyní stačí vyřešit rovnici s neznámou $\mathrm e^{\mathrm iw}$ .

A tak nevím, co bych ještě povídala, když je v tématu přímo vážená autorita - kolega Pavel.

↑ Pavel: souhlasíš, prosím, že výsledek k úloze 1 na scanu k zadání nepatří ↑ příspěvek 4:? Děkuji.

OT - pro kolegu Pavla (a nejen): a kdybych mohla chtít králíka z klobouku :-) S kolegou Freedy jsme v některém tématu měli debatu, že některá úloha již od pohledu jeví jako "špatně" zadána - je taková těžkopádná, nepěkná, neelegantní. Tato asi není špatně zadaná, ale není elegantní. Jde vyřešit jen úpravou do některých vzorců (nebo jen jak ukazuje kolega Stýv?) - stačí mi, zda jde.

Ibanus · 08. 01. 2015 22:53 — Editoval Ibanus (08. 01. 2015 22:55)

Tak jsem to s menší pomocí kamaráda vyřešil. Postup dávám sem.

//forum.matweb.cz/upload3/img/2015-01/53761_WP_000160.jpg

Ten postup je snad zřejmý. Na internetu se toto řešení nikde nevyskytuje. Umožňuje řešit celou skupinu úloh typu goniometrická funkce = hodnota v $\mathbb{C}$ .

Děkuji za rady výše. ↑ jelena: ↑ Pavel:

Pavel · 09. 01. 2015 09:09

↑ Ibanus:

Proč je ve druhém řádku papíru č. 1 mezi zlomky znaménko $+$ , když v zadání je před funkcí cos znaménko $-$ ?

Ibanus · 09. 01. 2015 15:41

↑ Pavel:

Jo vidíte, no tak toto je pro variantu:
$\sin z+\cos z=3$

Trochu jsem se upsal, nicméně zbytek řešení se podle toho odvíjí.

Ibanus · 10. 01. 2015 00:25 — Editoval Ibanus (10. 01. 2015 00:27)

↑ jelena:

Vypočítal jsem si tu první úlohu taky a zjistil jsem, že kořeny lze získat z rovnice v tvaru:

$t^{2}(3-i)+t(-3-i)=0$

Kořeny této rovnice jsou:
$t_{1,2}\pm \frac{3+i}{\sqrt{10}}$

Při převodu na $Ln=\ln|z|+i(argz+2\pi k)$ jsem došel k závěru, že $|z|=1$ .

Argument hodnoty z jsem zjistil jako podíl imaginární složky ku reálné podle tangens. Tedy $\frac{i}{3}$ a po malé úpravě mám výsledek:
$Lnz=-\frac{1}{3}+2k\pi i$ nebo též $Lnz=i(\frac{i}{3}+2k\pi)$ .

jelena · 10. 01. 2015 16:01

Zdravím,

k řešení ↑ příspěvek 10: ještě bych měla takové drobné doporučení - pokud se vysvytuje kvadratická rovnice s komplexními koeficienty $y^2(1+i)-6iy+(-1+i)=0$ , je dobré celou rovnici vynásobit číslem komplexně sdruženým k koeficientu u kvadratického členu, tedy $(1-i)$ , trošku to zmírní divočinu následných úprav.

Závěr řešení je takový dramatický :-), ale snad při pořádném přepisu se zprůhlední.

Za další řešení děkuji, bylo tedy řešené původní zadání $\mathrm{tg}\,z=\frac 13$ ? potom viz kolega ↑ Pavel:. Pokud bys chtěl mít v zápisu komplexní tvar, tak použit přepis arctg na logaritmickou formu.

Ještě poznámky: rovnice $t^{2}(3-i)+t(-3-i)=0$ je v součinovém tvaru, lze upravit na $t(t(3-i)-3-i)=0$ , tedy bych z toho nedostala $t_{1,2}=\pm \frac{3+i}{\sqrt{10}}$ . Zkus překontrolovat.

potom

Argument hodnoty z jsem zjistil jako podíl imaginární složky ku reálné podle tangens. Tedy $\frac{i}{3}$ a po malé úpravě mám výsledek:

v argumentu by se nemělo objevovat $i$ , je to $arctg(b/a)$ (podílu koeficientů b, a ve tvaru $y=a+bi$ ), tedy opět pokontrolovat.

Pokud chceš pracovat s exponenciálním tvarem pro tg, potom bych použila již upravený zápis na
$\frac{e^{2iz}-1}{i(e^{2iz}+1)}=\frac{1}{3}$
odkud $e^{2iz}=\frac{i+3}{3-i}=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i$
od tohoto kroku buď logaritmováním (jak provádíš, jen trošku pořádněji), nebo porovnáním komplexních čísel $e^{2i(a+bi)}=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i$ (nezapomenout na mnohoznačnost).

V každém případě děkuji za aktivní přístup k problému a kolegovi Pavlovi za zapojení do tématu (i případně za další kritiku, omluv mé imaginární jednotky :-)).

Ibanus · 11. 01. 2015 01:48 — Editoval Ibanus (11. 01. 2015 02:00)

↑ jelena:

Ach, tato rovnice, mou nedůsledností jsem se zase upsal. Máte naprostou pravdu, že by to nevyšlo.
$t^{2}(3-i)+t(-3-i)=0$

Správný tvar měl být $t^{2}(3-i)+(-3-i)=0$ a ten už platí.

Mám však ještě zmatek v tom konci pro první úlohu.

Podle výsledku se můj nesprávný konec $iz=i(\frac{i}{3}+2k\pi)$ nebo lépe $z=\frac{i}{3}+2k\pi$ hodí více než řešení, které jsem přepočítal podle rady $arctg(b/a)$ s využitím $y=a+bi$ .

Tedy vyšlo mi $z=\frac{1}{3}+k\pi$ a pokud to porovnám ve WA, tak je to celé jiný výsledek, než to co je v zadání. Buďto je tedy chyba na straně výsledku na začátku nebo dělám pořád chybu já. :-)

Pro usnadnění:
WA výsledky řešení: 1. řešení, 2. řešení a 3. řešení.
Moc děkuji za připomínky. Přepočítával jsem to dle rad výše pro druhý příklad. :-)

jelena · 11. 01. 2015 17:31 — Editoval jelena (11. 01. 2015 20:52)

↑ Ibanus:

Zdravím a děkuji,
tedy řešíme rovnici $\mathrm{tg}\,z=\frac 13$ užitím Euler. vztahů (a substituce $t=e^{iz}$ použita v rovnici po úpravě $t^{2}(3-i)+(-3-i)=0$ , odkud máme:

$t_{1,2}=\pm \frac{3+i}{\sqrt{10}}$ . Pro $t_1=\frac{3+i}{\sqrt{10}}$ máme $e^{iz}=\frac{3+i}{\sqrt{10}}$ , logaritmujeme levou a pravou stranu a dostaneme:
$iz=\ln|\frac{3+i}{\sqrt{10}}|+i(\varphi+2k\pi)$

$iz=0+i$\mathrm{arctg}\(\frac{1}{\sqrt{10}}:\frac{3}{\sqrt{10}}$+2k\pi\)$
$iz=i$\mathrm{arctg}\(\frac{1}{3}$+2k\pi\)$ po podělení i dostaneme
$z_1=\mathrm{arctg}$\frac{1}{3}$+2k\pi$ , obdobně $z_2=\pi+\mathrm{arctg}$\frac{1}{3}$+2k\pi$ (zde editováno), což můžeme zapsat jako jedno řešení $z=\mathrm{arctg}$\frac{1}{3}$+k\pi$

Toto řešení neodpovídá řešení na papíru zadání a to proto, že řešení na papíře patří k zadání $\mathrm{tg}\,z=\frac i3$ - zkus ho vyřešit.

Asi vidím, v čem je problém s nalezením argumentu komplexního čísla - zápis $\frac{3+i}{\sqrt{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}+\frac{1}{\sqrt{10}}i$ , potom $a=\frac{3}{\sqrt{10}}$ , $b=\frac{1}{\sqrt{10}}$

----------------------------------------------------

Dobojováno bude, až ještě vyřešíš opravené zadání rovnice $\mathrm{tg}\,z=\frac i3$ :-)

Ibanus · 11. 01. 2015 22:57 — Editoval Ibanus (11. 01. 2015 22:59)

↑ jelena:

Děkuji za velmi vyčerpávající vysvětlení. :-)) Moc mi pomohlo. Opravil jsem se ve všem a teď to funguje.

Jinak řešení $\mathrm{tg}\,z=\frac i3$ jsem objevil toto:

kvadratická rovnice: $2y^{2}-1=0$ kde kořeny jsou $y_{1, 2}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Z tohoto jsem se dostal na výsledek: $z=\pi k-i\ln\frac{1}{2}$

Je mi akorát zajímavostí, proč je výsledek v zadání o jednu polovinu rozdílný (menší v imaginární části, než můj výsledek. Viz zde.

Zkoušel jsem to např. pro $k=1$ .

Pavel · 11. 01. 2015 23:26

↑ Ibanus:

Máš špatně zlogaritmovanou odmocninu, platí totiž

$\ln\frac 1{\sqrt 2}=\ln 2^{-\frac 12}=-\frac 12\ln 2\mathrel{\color{red}\neq-\ln\frac 12}$

Ibanus · 11. 01. 2015 23:41

↑ Pavel:

Jo tak. :-) Děkuji mnohokrát za pomoc. Uzavírám. Nemám dalších otázek. :-)

Matematické Fórum

#1 03. 01. 2015 10:42 — Editoval Ibanus (03. 01. 2015 11:02)

Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

#2 05. 01. 2015 23:03

Re: Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

#3 06. 01. 2015 13:04

Re: Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

#4 07. 01. 2015 20:12

Re: Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

#5 07. 01. 2015 23:42

Re: Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

#6 08. 01. 2015 08:13

Re: Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

#7 08. 01. 2015 11:17

Re: Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

#8 08. 01. 2015 12:25

Re: Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

#9 08. 01. 2015 12:58

Re: Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

Pavel napsal(a):

#10 08. 01. 2015 22:53 — Editoval Ibanus (08. 01. 2015 22:55)

Re: Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

#11 09. 01. 2015 09:09

Re: Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

#12 09. 01. 2015 15:41

Re: Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

#13 10. 01. 2015 00:25 — Editoval Ibanus (10. 01. 2015 00:27)

Re: Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

#14 10. 01. 2015 16:01

Re: Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

#15 11. 01. 2015 01:48 — Editoval Ibanus (11. 01. 2015 02:00)

Re: Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

#16 11. 01. 2015 17:31 — Editoval jelena (11. 01. 2015 20:52)

Re: Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

#17 11. 01. 2015 22:57 — Editoval Ibanus (11. 01. 2015 22:59)

Re: Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

#18 11. 01. 2015 23:26

Re: Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

#19 11. 01. 2015 23:41

Re: Problém s řešením příkladů na komplexní čísla a funkce

Zápatí