Matematické Fórum

Kalanvatar · 20. 03. 2010 14:39

Ahoj,
tak tady další "oříšek" pro matematiky co si chtějí procvičit rychlost počítání a logické přemýšlení.

Řešení stejně jako v předchozí situaci jsem nepsal, protože jsem se často dostal do slepé uličky.

Snad omluvíte, že mi nebylo z hůry dáno. :))

Kalanvatar

http://www.uloziste.net/thumb/2900/image_250.jpg

byk7 · 20. 03. 2010 17:48

Tak napiš svůj postup a kolegové Tě jistě opraví.

Mrfiluta

Mohl bych napsat pouze: Použij goniometrickou jedničku a součtový vzorec pro kosinus (x+y). Ale trochu ti to rozepíšu, pořádně polopaticky! :D Opravte mě kdyžtak, občas udělám nějakou chybu :)

1) Nejdřív si uděláme podmínky :) ve jmenovateli se nesmí objevit nula, takže $sinx\neq0$ . Sinus nabývá hodnot nula v hodnotách ${0, \pi, 2\pi, 3\pi... atd.}$ , tedy v k-násobcích $\pi$ . Tedy $x \neq k \cdot \pi$ ! To bude důležité na konci.

Teď samotný výpočet:

-->Roznásobíme trojkou a sinem x.
-->Na $sin(\pi + x)$ použijeme součtový vzorec $sin (x + y) = sin x * cos y + cos x * sin y$

-->Vznikne nám tedy až: $2sinx(sin\pi \cdot cosx+cos\pi \cdot sinx) = 3 cosx - 3$ Tady rovnou můžeme "zapomenout" na část, která obsahuje $sin\pi$ , protože $sin\pi=0$ a tudíž všechno čím se to násobí se rovná nule :) Vyčíslením $cos\pi$ dostaneme $1$ Zbyde nám jen několik toho a všechno si převedem na jednu stranu:

$2sin^2 x - 3 cosx + 3 = 0$

-->Přichází na řadu goniometrická jednička. $sin^2 x=1-cos^2 x$ .

$2(1-cos^2 x) - 3 cosx + 3 = 0$
$-2cos^2 x - 3 cosx + 5 = 0$

-->Uděláme substituci: $cosx = u$ a dostaneme:

$-2u^2 - 3u + 5=0$ To je klasická kvadratická rovnice, vypočítáme diskriminant a kořeny. Mně kořeny vyšly $u_1=-\frac52$ a $u_2=1$ .

-->Dosadíme kořeny zpátky do naší substituce:
$cosx = -\frac52$ <-- toto nikdy nenastane, hodnoty kosinu se pohybují vždy v romezí <-1, +1> a ne výš, čili toto řešení můžeme rovnou škrtnout.
$cosx = 1$ <--- Tohle už vypadá líp. Kosinus nabývá hodnoty +1 v místech $0, 2\pi, 4\pi...$ , tedy v sudých násobcích $\pi$ , tzn. v $2k \cdot \pi$

TO by bylo naše řešení, JENŽE tu máme počáteční podmínku :) a když se podíváme, podmínka nám vylučuje jakýkoli celočíselný násobek $\pi$ , tedy nám vylučuje i naše řešení. Troufám si teda tvrdit, že tato úloha prostě nemá řešení!

Mrfiluta · 22. 03. 2010 00:26

2) Příklad 2 bude naprosto obdobný. Použiješ zde vzorec pro $cos2x$ , a to: $cos2x = cos2x - sin2x$ . Hned potom doporučuju použít goniometrickou jedničku na vzniklý $cos^2 x$ .
( Goniometrická jednička vypadá takto $sin^2 x + cos^2 x = 1$ a lze z ní vyjádřit jak sinus, tak kosinus. )
Vznikne ti zase kvadratická rovnice, uděláš substituci, no prostě stejný případ :) kořeny u substituce mi vyšly $-1$ a $\frac12$ . Zbytek už dáš.

3) Tady je to úplně jednoduché :) aby se kosiny rovnaly, musí se rovnat i ty argumenty uvnitř nich. Dostaneš teda úplně jednoduchou rovnici
$3x - 15 = 45$
$x=20$

4) Tak na ten mě zrovna nic nenapadá, ale bude to hraní si se vzorci. Kdyžtak dopíšu :)

Kalanvatar · 22. 03. 2010 21:08

Jej, tak už jste koukám pokročili, hodím sem, co jsem vypočítal já.

http://www.uloziste.net/thumb/5467/gonio.jpg

Teď se pokusím pochopit tu jedničku. :)

Díky moc. :)

Kalanvatar · 22. 03. 2010 21:34

↑ Mrfiluta:
1) Jejda já si teda myslím že sin=0 nabývá hodnot v pí/2 + 2kpí... O:-) Takže výsledek by měl být v definičním oboru.
P.

Doxxik · 22. 03. 2010 21:40

↑ Kalanvatar:
jednak předpokládám, že jsi chtěl napsat: sinx=0
a potom - je patrné, že se jedná sinus nabývá 0 v $k\cdot \pi$

Mrfiluta · 22. 03. 2010 23:12

↑ Kalanvatar:

Kdepak, sinx=0 opravdu v $k \cdot \pi$ !

2. příklad: Pozor, myslím, že tam máš špatně znaménka u substituce. Buď bude $-2t^2 - t + 4$ , nebo $+2t^2 + t - 4$ . Kořeny vyjdou tak jak jsem se zmínil výše.

3. příklad: Máš pravdu, tady je základní úhel 20°, odpovídá tomu teda i 315°, tedy $x=110$ :)