Matematické Fórum

Nell · 26. 09. 2010 16:33

Zdravim. Tyto 3x úlohy jsme dostali za DÚ a já netuším co s nima. Jediné co asi chápu jak by se mnělo dělat je 3. je to něco jako (x^2-1)=(x+1)(x-1) ale nejsem si jistej jak se má rozložit, když je tam x^5.

1.Zdůvodněte, proč třetí řádek Hornerova schématu při vyhodnocování polynomu p
v bodě "a" obsahuje koeficienty polynomu, který je částečným podílem
polynomu p polynomem (x-a). Jak vypadá zbytek po dělení p polynomem (x-a)?

2.Nechť polynom p má reálné kořeny a dále kořeny po dvou vzájemně komplexně
sdružené. Nechť dále koeficient u nejvyšší mocniny je nenulový reálný.
Rozmyslete si, proč pak polynom p má reálné koeficienty.

Je podmínka na koeficient u nejvyšší mocniny nutná?

3.Na součin polynomů ireducibilních v R rozložte polynom:

2x^5 - 4x^4 - 7x^3 + x^2 + 5x + 3

Nápověda: většina kořenů polynomu jsou celá čísla.

jelena · 26. 09. 2010 23:58

↑ Nell:

Zdravím,

jelikož již máš založeno téma na část zadání, tak bych v tomto tématu navrhovala dořešit rozklad polynomu (neb nic jiného by mi stejně nešlo).

Nápověda: většina kořenů polynomu jsou celá čísla. Z této nápovědy budu vycházet a budu zkoušet na úvod místo dosazovat čísla 1, -1, 2, -2. Pokud mi ve výsledku vyjde 0, zvolené číslo je kořen polynomu a mohu použit pro dělení mnohočlenu dvoučleném.

Vyšlo mi, že 1, -1 jsou kořeny, proto podělím (2x^5 - 4x^4 - 7x^3 + x^2 + 5x + 3):(x^2-1). Ve výsledku bude 3. stupeň a ten už se rozloží.

Rozkladů je zde na fóru hodně - například + materiály vašeho vyučujícího + pro kontrolu online nástroje z úvodního tématu sekce VŠ.

Stačí tak na úvod?

Nell · 27. 09. 2010 00:36

3. jsem už vypočítal díky hornovu schématu. ten zbytek náhodou někdo neví?

Kondr · 27. 09. 2010 00:54

↑ Nell:Se ví že ví :) V té dvojce uvážíme rozklad na kořenové činitele p(x)=c(x-r_1)(x-r_2)....(x-r_n), prvních k kořenů nechť je reálných. Pronásobíme mezi sebou ty dvojice závorek, v nichž jsou kořeny komplexně sdružené. Rozklad tak přejde to tvaru
$p(x)=c(x-r_1)(x-r_2)....(x-r_k)(x^2+a_{k+1}x+b_{k+1})...(x^2+a_{n}x+b_{n})$ . Přitom $a_t$ je pro všechna t od k+1 do n součet dvou komplexně sdružených čísel (reálné číslo), $b_n$ součin (také reálný). Jediné, co by nám mohlo způsobit komplexní koeficienty, je to c. Protože ale u $x^n$ je koeficient $c$ a u $x^n$ je ze zadání reálné číslo, jsou všechny koeficienty reálné. Kdybychom o koeficientu u $x^n$ nic nevěděli, mohli bychom položit $c=i$ a pak by vyšly komplexní koeficienty. Proto je tam ta podmínka nutná.

Matematické Fórum

#1 26. 09. 2010 16:33

Lineární algebra

#2 26. 09. 2010 23:58

Re: Lineární algebra

#3 27. 09. 2010 00:36

Re: Lineární algebra

#4 27. 09. 2010 00:54

Re: Lineární algebra

Zápatí