Matematické Fórum

mikl3 · 11. 01. 2011 20:50 — Editoval mikl3 (11. 01. 2011 20:52)

dobrý den,
nyní i já bych potřeboval pomoct s konkrétní úlohou z analytické geometrie, tato úloha jde řešit lehce (de facto podle vzorce) nebo i jinak, my jsme ji měli vyřešit nějak takže zde je zadání:
$x=5,5 - t$ $y=-3 + 2t$ $z=1 + 4t$
$x=a+3s$ $y=-2s$ $z=4-s$
najděte reálné číslo a takové, aby dvě přímky s parametrickými vyjádřeními, které je nad tímto, byly různoběžné a určete souřadnice průsečíku
tak jednoduše by to bylo $x=x$ atd, soustava rovnic a je to
ale já (napadlo mě to, když jsem si to představoval) jsem si udělal vektorový součin vektorů (které vyčtu z par. rovnic) abych dostal obecnou rovnici roviny, ve které tyto přímky leží, tudíž tam leží i průsečík
takže $\vec{u} \cdot \vec{v}=(6;11;-4)$ má tam být x jako vektorový součin, ale ještě jsem nenašel, jak to napsat pokud se nepletu (vektory $\vec{u}$ a $\vec{v}$ jsem si "vycucal" z par. rovnic)
nyní si z tohoto vektorové součinu napíšu obecnou rovnici roviny, ve které má "soustava" leží takže $6x+11y-4z+d=0$ pro získání $d$ si dosadím bod (opět "vycucaný") z toho prvního par. vyjádření přímky a vyjde mi $d=4$ takže obecná rovnice má finální tvar $6x+11y-4z+4=0$
nyní si do této obecné rovnice dosadím souřadnice bodu z druhého par. vyjádření takže: $6 \cdot a+11 \cdot 0-4 \cdot4+4=0$ $a$ mi vyjde $a=2$
jenže jak se nyní dopočítat průsečíku? (tuto variantu znám, ale chtěl bych jinou: takže si dosadím a do parametrických rovnic a "položím" je rovná se, jenže to je soustava rovnic a v tomhle případě jsem si nadělal o 5 minut práce navíc, než kdybych to od začátku řešil tak, jak jsem psal, že to je jednoduché)
z parametrické rovnice přímky v prostoru ani náhodou nedostanu její obecnou rovnici (měl jsem malou diskusi s paní učitelkou, ale chápu, že to asi nejde)
prosím, nepřišel by někdo na to, jak toto dotáhnout do konce? bez toho, abych to dělal $x=x$ $y=y$ ? snad mě chápete, jak to myslím, předem děkuji

petrkovar · 11. 01. 2011 21:09

Můžeme postupovat podobně, jako kdybychom hledali příčku mimoběžek (až na to, že se jedná o různoběžky).
Když už máme směrový vektor jedné přímky (třeba p) a vektor kolmý k oběma přímkám (ten vektorový součin $u \times v$ ), tak můžeme sestavit obecnou rovnici roviny S, která přímku p obsahuje a NEOBSAHUJE přímku q tak, že opět uděláme vektorový součin, tentokrát "směrových" vektorů nové roviny S a dostaneme normálový vektor roviny S. Zbývá dosadit nějaký bod z přímky p. Potom najdeme průsečík s druhou přímkou q.
Poznámka: prorovnání paprametrických rovnic obou přímek je sice řešení soustavy tří rovnic, ale vždyť je můžeme řešit jako soustavu DVOU rovnic o DVOU neznámých (tentokrát pro y, z žádná hrůza) a z třetí rovnice (pro x) dopočítat parametr a.

mikl3 · 11. 01. 2011 21:32

↑ petrkovar: velice děkuji za reakci, já ty soustavy nezavrhl proto, že bych je neuměl řešit, to ne, nebojím se 20 rovnic o 20 neznámých, ale napadl mě jiný způsob a chtěl jsem ho nějak dokončit

a vektor kolmý k oběma přímkám (ten vektorový součin ), tak můžeme sestavit obecnou rovnici roviny S, která přímku p obsahuje a NEOBSAHUJE přímku q tak, že opět uděláme vektorový součin, tentokrát "směrových" vektorů nové roviny S a dostaneme normálový vektor roviny S

tohle jsem nepochopil, nemohl byste prosím konkrétně určit vekty třeba $\vec{a}=(.....)$ abych to pochopil? napsat jaký vektor to je čeho a vypočítat ho a potom udělat ten součin a čeho to je? děkuji

petrkovar · 11. 01. 2011 21:52

Normálový vektor roviny S je $(6,11,-4)\times(-1,2,4)$ .

mikl3 · 11. 01. 2011 21:56

↑ petrkovar: sice už tolik mi to nemyslí večer, ale nedokážu si to představit
nenašel by se nějaký hodný člověk, který má doma programy na "malování" a nepostnul mi sem obrázek, jak by to tedy vypadalo? jaké roviny tam jsou jaké vektory, ty přímky... ?? díky

Matematické Fórum

#1 11. 01. 2011 20:50 — Editoval mikl3 (11. 01. 2011 20:52)

analytická geometrie

#2 11. 01. 2011 21:09

Re: analytická geometrie

#3 11. 01. 2011 21:32

Re: analytická geometrie

#4 11. 01. 2011 21:52

Re: analytická geometrie

#5 11. 01. 2011 21:56

Re: analytická geometrie

Zápatí